第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤·1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．()(2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.()(3)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝c.()(4)在四边形ABCD中，AB＝DC且AC·BD＝0，则四边形ABCD为矩形.()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝()1A．30°B．45°C．60°D．120°A[因为BA＝，BC＝，所以BA·BC＝＋＝.又因为BA·BC＝|BA||BC|cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.]3．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1D．2C[法一： a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.法二： a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]4．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．－2[由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.]5．设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.－[ a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴x＝－.]平面向量数量积的运算(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为()A．－B.C.D.(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________.【导学号：51062145】(1)B(2)11[(1)如图所示，AF＝AD＋DF.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD＝AB，DF＝AC＋AC＝AC，所以AF＝AB＋AC.又BC＝AC－AB，则AF·BC＝·(AC－AB)＝AB·AC－AB2＋AC2－AC·AB＝AC2－AB2－AC·AB.又|AB|＝|AC|＝1，∠BAC＝60°，故AF·BC＝－－×1×1×＝.故选B.(2)法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则2A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE·DC的最大值为1.法二：由图知，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB＝1，所以DE·CB＝|CB|·1＝1，当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大，即为DC＝1，所以(DE·DC)max＝|DC|·1＝1.][规律方法]1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．[变式训练1](1)已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为()A．－B．－3C.D．3(2)(2017·衢州二次适应性测试)线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则AD·BE＝()A．－B.C．－D.(1)C(2)A[(1)因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又AB＝(2,1)，所以向量AB在CD方向上的投影为|AB|cos〈AB，CD〉＝＝＝.(2)由等边三角形的性质得|AD|＝|BE|＝，〈AD，BE〉＝120°，所以AD·BE＝|AD||BE|cos〈AD，BE〉＝××＝－，故选A.]平面向量数量积的性质角度1平面向量的模(1)(2017·宁波二次质检)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2...
