章末综合测评(三)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)1.若复数z满足zi＝1－i，则z＝________.【解析】法一：由zi＝1－i得z＝＝－1＝－1－i.法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由zi＝1－i，得(a＋bi)i＝1－i，即－b＋ai＝1－i.由复数相等的充要条件得即∴z＝－1－i.【答案】－1－i2.在复平面内，复数z＝i(1＋3i)对应的点位于第________象限.【解析】 z＝i(1＋3i)＝i＋3i2＝－3＋i，∴复数z对应的点为(－3,1)在第二象限.【答案】二3.(2015·全国卷Ⅱ改编)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝________.【解析】 (2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.∴解得a＝0.【答案】04.设z为纯虚数，且|z－1－i|＝1，则z＝________.【解析】设z＝bi(b∈R，b≠0)，则|z－1－i|＝|(b－1)i－1|，∴(b－1)2＋1＝1，∴b＝1，则z＝i.【答案】i5.(2016·辽宁三校高二期末)复数z满足方程|z－(－1＋i)|＝4，那么复数z在复平面内对应的点P的轨迹方程是________.【解析】设z＝x＋yi，由|z－(－1＋i)|＝4得|(x＋1)＋(y－1)i|＝4，即＝4，则(x＋1)2＋(y－1)2＝16.【答案】(x＋1)2＋(y－1)2＝166.在复平面内，若复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点位于第三象限，则实数k的取值范围是________.【解析】由已知得∴40)的模为，则复数z的共轭复数＝________.【解析】 ＝，且a>0，∴a＝1，则z＝1－i，∴＝1＋i.【答案】1＋i11.已知复数z＝，则|z|＝________.【解析】z＝＝＝＝－＋i，则|z|＝＝.【答案】12.若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程是________.【解析】由|z|2－2|z|－3＝0，得(|z|＋1)(|z|－3)＝0. |z|＋1>0，∴|z|－3＝0，则|z|＝3.故x2＋y2＝9.【答案】x2＋y2＝913.已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为______.【解析】z1z2＝(1＋2i)m＋(m－1)i]＝m－2(m－1)]＋2m＋(m－1)]i＝(2－m)＋(3m－1)i，所以2－m＝3m－1，即m＝，且能使2－m＝3m－1>0，满足题意.【答案】14.(2016·阜宁调研)若复数z＝i＋i2014，则＋的模等于________.【解析】z＝i＋i2014＝i＋i2＝－1＋i，则＝－1－i，∴＋＝(－1－i)＋＝－1－i－5(1＋i)＝－6－6i，∴|＋|＝|－6－6i|＝6，即＋的模为6.【答案】6二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知z，w为复数，(1＋3i)z为实数，w＝，且|w|＝5，求ω.【解】设ω＝x＋yi(x，y∈R)，由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i).依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i. (1＋3i)z为实数.∴7x－y＝0.①又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50.②由①②得或∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.16.(本小题满分14分)已知z＝，(1)求|z|；2(2)若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值.【解】(1)z＝＝＝＝＝1－i.∴|z|＝.(2)把z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，得：a＋b－(2＋a)i＝1＋i，∴解得所以实数a，b的值分别为－3,4.17.(本小题满分14分)已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数.(1)求复数z；(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.【解】(1)(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i， (1＋3i)z是纯虚数，∴3－3b＝0且9＋b≠0，则b＝1，从而z＝3＋i.(2)ω＝＝＝＝－i.∴|ω|＝＝.18.(本小题满分16分)已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ...
