探究课六导数问题中的热点题型(建议用时：80分钟)1．已知函数f(x)＝lnx＋x2＋ax(a∈R)．若函数f(x)在其定义域上为增函数，求a的取值范围．解法一函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f(x)＝lnx＋x2＋ax，∴f′(x)＝＋2x＋a
函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)≥0，即＋2x＋a≥0对x∈(0，＋∞)都成立．∴－a≤＋2x对x∈(0，＋∞)都成立．∴当x＞0时，＋2x≥2＝2，当且仅当＝2x，即x＝时取等号．∴－a≤2，即a≥－2
∴a的取值范围为[－2，＋∞)．法二函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f(x)＝lnx＋x2＋ax，∴f′(x)＝＋2x＋a＝
方程2x2＋ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－8
①当Δ≤0，即－2≤a≤2时，2x2＋ax＋1≥0，此时，f′(x)≥0对x∈(0，＋∞)都成立，故函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数．②当Δ＞0，即a＜－2或a＞2时，要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，只需2x2＋ax＋1≥0对x∈(0，＋∞)都成立．设h(x)＝2x2＋ax＋1，则解得a＞0
综合①②得a的取值范围为[－2，＋∞)．2
(2015·南山中学月考)已知函数f(x)＝sinx(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0)．(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)－f(x)≤x3
(1)解令h(x)＝sinx－ax(x≥0)，则h′(x)＝cosx－a
①若a≥1，h′(x)＝cosx－a≤0，h(x)＝sinx－ax(x≥0)单调递减，h(x)≤h(0)＝0，则sinx≤ax(x≥0)成立．②若0h(0)＝0，不合题意．③当a≤0，结合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意．综上可知，a≥1
(2)证明当a取(1)中的最小值为1时
