周周回馈练(一)一、选择题1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(b＋c)(b－c)＝a(a＋c)，则角B＝()A．30°B．60°C．120°D．150°答案D解析由(b＋c)(b－c)＝a(a＋c)得a2＋c2－b2＝－ac，则cosB＝＝－，所以B＝150°．故选D．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，∠C＝2∠B，则cosC＝()A．B．－C．±D．答案A解析由∠C＝2∠B得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理得cosB＝＝＝，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝．故选A．3．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为()A．B．C．D．答案B解析p∥q⇒(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0⇒＝＝cosC，∴C＝．故选B．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝12，b＝13，A＝60°，则此三角形的解的情况是()A．无解B．一解C．两解D．不能确定答案C解析由正弦定理＝，得sinB＝＝＝＞sinA，所以B有两解，故此三角形有两解．故选C．5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB＋acosC＝b＋c，则△ABC的形状是()A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案D解析∵acosB＋acosC＝b＋c，由正弦定理，得sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，化简得，cosA(sinB＋sinC)＝0，又sinB＋sinC>0，∴cosA＝0，即A＝．∴△ABC为直角三角形．6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为()A．1B．2C．D．4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，得R＝1，1由S△＝absinC＝＝＝，∴abc＝1．二、填空题7．在锐角△ABC中，BC＝1，∠B＝2∠A，则的值等于________，AC的取值范围为________．答案2(，)解析设∠A＝θ⇒∠B＝2θ．由正弦定理得＝，∴＝1⇒＝2．由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°．又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°．故30°<θ<45°⇒0，∴C为锐角．∴cosC＝．(2)∵CB·AC＝－，∴CB·CA＝．∴abcosC＝．又∵cosC＝，∴ab＝20．∵a＋b＝9，∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝81，∴a2＋b2＝41．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝41－2×20×＝36，∴c＝6．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＋c＝2acosB．(1)证明：A＝2B；(2)若cosB＝，求cosC的值．2解(1)证明：由正弦定理，得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)，故A＞B．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π．所以B＝π－(A－B)或B＝A－B．因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B．(2)由cosB＝，得sinB＝，cos2B＝2cos2B－1＝－，故cosA＝－，sinA＝，cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝．12．已知△ABC的周长为＋1，且sinB＋sinC＝sinA．(1)求边BC的长；(2)若△ABC的面积为sinA，求角A的度数．解(1)由题意及正弦定理，得AC＋AB＝BC．∵AB＋BC＋AC＝＋1，∴BC＋BC＝＋1，BC＝1．(2)∵S△ABC＝AC·AB·sinA＝sinA，∴AC·AB＝．又∵AC＋AB＝，由余弦定理，得cosA＝＝＝＝，∴A＝60°．3
