5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值自我小测1函数y＝2＋的最大值是________．2已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为________．3设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值是________．4在△ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，则：(a2＋b2＋c2)________36R2.5函数y＝3＋4的最大值为________．6已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值为________．7求实数x，y的值，使(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．8已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，则a的最大值是________．9设x，y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，则x－2y＋2z的最小值为________．10求2sinθ＋cosθsinφ－cosθcosφ的最大值和最小值．1参考答案1．解析：y2＝2≤[22＋()2]＝6×＝3，当且仅当2＝·，即x＝时等号成立．∴y的最大值为.2．4解析：＝≥2＝2＝22＝4，当且仅当x＝y＝1时等号成立．3．121解析：(a＋b＋c)＝≥2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当＝＝＝k(k为正实数)时等号成立．4．≥解析：∵＝＝＝2R，∴(a2＋b2＋c2)≥2＝36R2.5．5解析：∵y2＝(3＋4)2≤(32＋42)[()2＋()2]＝25(x－5＋6－x)＝25，当且仅当3＝4，即x＝时等号成立．∴函数y的最大值为5.6．解析：2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝，当且仅当y＝x，即x＝y＝时等号成立．7．解：由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1×(y－1)＋2×(3－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝1.即(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2≥.当且仅当＝＝，即x＝，y＝时上式取等号．故所求值为x＝，y＝.8．2解析：由柯西不等式，得(2b2＋3c2＋6d2)(＋＋)≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，当且仅当存在数k＝1或2，使得＝＝＝k时等号成立．由条件可得5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，即a的最大值是2.9．－6解析：由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)·[12＋(－2)2＋22]≥(x－2y＋2z)2.∴(x－2y＋2z)2≤4×9＝36.2当且仅当＝＝＝k，k＝±时，上式取得等号，当k＝－时，x－2y＋2z取得最小值－6.10．解：令向量a＝(2sinθ，cosθ，－cosθ)，b＝(1，sinφ，cosφ)．由柯西不等式|a·b|≤|a||b|，得|2sinθ＋cosθsinφ－cosθcosφ|≤·＝＝2，当且仅当存在实数k＝，使a＝kb时，等号成立．所以所求的最大值为2，最小值为－2.3
