高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质人教版【同步教育信息】一.本周教学内容：二面角、两平面垂直的判定和性质二.重点、难点：重点：1.二面角的有关概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫二面角的棱。二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫直二面角。2.作二面角的平面角常有以下方法：①若构成二面角的两个面有特殊性（如等腰三角形或直角三角形），可根据特殊图形的性质作出平面角。②若已知二面角内一点到两面的垂线，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角就是二面角的平面角，称为垂面法。③若已知二面角一面内一点到另一面的垂线，用三垂线定理或它的逆定理作出平面角，称为三垂线法。④由定义找到棱上有关点，分别在两个面内作出（或找出）垂直于棱的射线，得到二面角的平面角。⑤当直观图上只给出两个平面的一个交点而没给出交线时，要先延展平面找到棱，用上述方法之一作出平面角。3.两个平面垂直的定义：两个平面相交，所成二面角是直二面角。作用：①用于证明两个平面垂直，证明二面角的平面角是直角。②两平面垂直，二面角为直二面角，平面角的二直线互相垂直。4.（1）两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据。由判定定理的内容可知，证明面面垂直，可以转化为证线面垂直。（2）性质定理如果两个平面垂直，那么一个平面内的垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。简言为：“面面垂直，则线面垂直”。难点：1.二面角平面角的作法与计算。2.判定定理和性质定理的应用。【典型例题】例1.如图。AC为圆O的直径，B，D为圆上在AC两侧的两个点，SA⊥平面ABCD，连SB，SC，SD，试写出图中所有互相垂直的各对平面并说明理由。解： SA⊥平面ABCD。∴过SA的平面垂直于平面ABCD。∴面SAB，面SAC，面SAD都与平面ABCD垂直。又 CD⊥AD。∴CD⊥SD（三垂线定理）。∴CD⊥面SAD。∴经过CD的平面垂直于平面SAD。∴面CDS，面ACD分别垂直于平面SAD。同理，面CBA，面SBC分别垂直于平面SBA。但其中面SAD⊥面ACD，面CAB⊥面SAB。在第一种情况中已得到。故共有五对平面互相垂直。例2.在四面体ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°。若，求二面角的正弦值。证明：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BD于F如图。 AD⊥面ABC∴AD⊥BC又 ∠ABC＝90°。∴BC⊥AB∴BC⊥面DAB。∴DB是DC在面ABD内的射影。 AF⊥DB∴AF⊥CD（三垂线定理）。又 AE⊥CD∴CD⊥平面AEF。∴CD⊥EF CD⊥面AEFCD面BCD∴面AEF⊥面BCD由EF⊥CD，AE⊥CD∴∠AEF为二面角B－DC－A的平面角在中在又 AF⊥DB，AF⊥CD，BD∩CD＝D∴AF⊥平面DBC，例3.在60°的二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。分析：设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ。同理，有PB⊥a， PA∩PB＝P，∴a垂直于面PAQB于Q又AQ、BQ平面PAQB∴AQ⊥a，BQ⊥a。∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角。∴∠AQB＝60°连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有∠PAQ＝∠PBQ＝90°∴P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R在△PAB中， PA＝1，PB＝2，∠BPA＝180°－60°＝120°，由余弦定理得AB2＝1＋4－2×1×2cos120°＝7由正弦定理：评注：本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。例4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点。求截面MB1D与底面ABCD所成二面角的大小。分析：如图。面MB1D与面ABCD只相交于点D，因此，要求二面角的大小，需先找或作出它的棱。由公理2及二面角棱的定义知，这条棱必过点D。只要再找出两个面的另一个交点即可。解： M是A1A的中点，∴MAB1B是直角梯形。延长其腰B1M与BA必相交于一点N。 MB1面B1DM，N∈MB1。∴N∈面B1DM。同理：N∈面ABCD。连结ND即为二面角的棱。连结DB， NA＝BA＝AD，∴∠ADB＝∠ADN＝45°。∴∠BDN＝90°。...
