高二数学极坐标系教法创新的探索广东省顺德一中赵愉民（528300）本文试图从复数引入极坐标系以求教于同行们.一、极坐标系的教学现状1691年瑞士数学家贝努利创用了极坐标系.这种用距离和角来确定点的位置的坐标系在航空、航海中得到了广泛的应用，教材由此而引入.然而这种看似从实际引入的方法教学中并不“实际”，因为对大多数学生来说都不具有航空、航海背景，从而无法产生“同化”效应.最终还是教师“规定”了极坐标系.二、设计创新情境现代认知心理学认为，新学习的知识必须纳入原有的认知结构，并在原有的认知结构中找到联结点，才能将新知识同化，才能牢固地掌握新知识.从教材中代数和几何的教学进度知，极坐标的学习刚好在复数学习之后,这给极坐标用复数引入提供了绝隹的切入时节！（1）复数代数形式与点的确定学生已经明确,,给定复数x+yi我们可以迅速在复平面上找到横坐标为x,纵坐标为y的点与之对应.（2）复数三角形式与点的确定提出问题：如果给定复数z=ρ（cosθ+isinθ）我们是否能根据ρ和θ在复平面上确定它所对应的点呢？（为统一起见这里用ρ（ρ≥0）来表示复数的模，θ为辐角）回答是肯定的：首先作出辐角θ,然后在θ的终边上截取距原点为ρ的点即可.即给定有序实数对（ρ，θ）在复平面上有唯一一点与之对应.反过来对复平面上的任意一点都可以写出它的三角形式，从而得到有序实数对（ρ，θ）.如果不考虑终边相同的角的形式对θ的影响，那么这种对应是唯一的.三、引入极坐标系由此坐标平面上的每一点都可由有序实数对（ρ，θ）唯一确定.不难发现这种确定点的方法仅与点到原点的距离ρ及以x轴正半轴为始边，点与原点的连线为终边的角θ有关；而与y轴及x轴的负半轴毫无关系！我们不妨把y轴及x轴的负半轴在平面中去掉，得到只含有x轴的正半轴的坐标平面。.这是用(ρ，θ)来标注点的新坐标系,我们把它叫作极坐标系.原点O改称为极点，OX轴称为极轴，单位长度，角度的正向同前.这样一个完整的新坐标系就建成了.四、教学要点说明1、教学中按下表中的对应关系来讲授易于同化极坐标与复数三角形式的对应关系表复数极坐标1复数的模ρ点的极径ρ2复数的辐角θ点的极角θ3复数ρ（cosθ+isinθ）点的极坐标（ρ，θ）4复数-ρ（cos（θ+π）+isin（θ+π））点的极坐标（-ρ，θ+π）5复数辐角的多值性极角的多值性6复数三角形式的多样性极坐标的多样性7复数0辐角的任意性极点的极角任意性8复数三角形式与代数形式互化极坐标与直角坐标的互化2、允许ρ取负值的规定难以理解，但通过上表中第4点不难推知，这只不过是复数三角形式的一个恒等变形而已！复数z=ρ（cosθ+isinθ）=ρ[cos（θ+2kπ）+isin（θ+2kπ）]=-ρ[cos（θ+（2k+1）π）+isin（θ+（2k+1）π）]，因此点Z的所有极坐标形式可写为（ρ，θ+2kπ）或（-ρ，θ+（2k+1）π）（以上k∈Z）3、后一小节“极坐标与直角坐标的互化”只不过是复数三角形式与代数形式互化的改名而已！4、注意知识的迁移。复数的代数形式与直角坐标的对应关系，为复数解决直角坐标问题提供了基础，那么复数的三角形式与极坐标之间的对应，则为复数处理极坐标问题提供了广阔的空间.这对培养学生的创新能力无疑提供了一条行之有效的途径，有些问题换个角度去考虑往往会闪烁着别开生面的智慧的光芒.有兴趣的同志们可继续深入探讨.通过用复数三角形式确定点的方法引入极坐标系，推理流畅自然，不仅学生容易接受，学习效果隹，而且使学生认识到数学内部是如此的和谐和统一，充分感受到数学之美！
