高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.1-1.1.2 变化率问题、导数的概念课时作业 新人教版选修2-2-新人教版高二选修2-2数学试题VIP免费

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念明目标、知重点1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即lim＝lim①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率2.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim＝lim.[情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一平均变化率的概念思考1气球膨胀率很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝，(1)当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm)，气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．(2)当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)，气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．结论当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是.思考2高台跳水1人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在时间段①0≤t≤0.5，②1≤t≤2内的平均速度，并思考平均速度有什么作用？答①在0≤t≤0.5这段时间里，＝＝4.05(m/s)；②在1≤t≤2这段时间里，＝＝－8.2(m/s)．由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．思考3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？答如果上述两个思考中的函数关系用y＝f(x)表示，那么思考中的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考1中的平均变化率表示在空气容量从V1增加到V2时，气球半径的平均增长率．思考2中的平均变化率表示在时间从t1增加到t2时，高度h的平均增长率．思考4平均变化率也可以用式子表示，其中Δy、Δx的意义是什么？有什么几何意义？答Δx表示x2－x1是相对于x1的一个“增量”；Δy表示f(x2)－f(x1)．Δx、Δy的值可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．观察图象可看出，表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率．小结平均变化率为＝，其几何意义是：函数y＝f(x)的图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率．例1已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；(2)求当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率；(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．解f(x)＝2x2＋3x－5，∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2(Δx)2＋19Δx.＝＝2Δx＋19.(1)当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，Δy＝2(Δx)2＋19Δx＝2＋19＝21，＝21.(2)当x1＝4，x2＝4.1时Δx＝0.1，Δy＝2(Δx)2＋19Δx＝0.02＋1.9＝1.92.＝2Δx＋19＝19.2.(3)在(1)题中＝＝，它表示抛物线上点P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率．在(2)题中，＝＝，它表示抛物线上点P0(4,39)与点P2(4.1,40.92)连线的斜率．2反思与感悟求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)...