高中数学 2.3.3 空间向量运算的坐标表示课后作业 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

3.3空间向量运算的坐标表示1.已知a=(1,-5,6),b=(0,6,5),则a与b()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解析:0+(-5)×6+6×5=0,故a⊥b.答案:A2.下列各组向量中,不平行的是()A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)解析:选项A中,b=-2a,所以a∥b;选项B中,d=-3c,所以c∥d;选项C中,0与任何向量平行.答案:D3.已知向量a=(1,3,3),b=(5,0,1),则|a-b|等于()A.7B.C.3D.解析:|a-b|=|(1,3,3)-(5,0,1)|=|(-4,3,2)|=.答案:B4.若向量a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a,b夹角的余弦值为,则λ=()A.1B.-1C.±1D.2解析:∵a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a,b夹角的余弦值为,又a·b=|a||b|·cos,∴-2+λ+2=·.∴λ=±1.∵a·b=λ>0,∴λ=1.答案:A5.已知三个力F1=(1,2,1),F2=(-1,-2,3),F3=(2,2,-1),则这三个力的合力的坐标为()A.(2,2,3)B.(0,0,0)C.D.0解析:F1+F2+F3=(1,2,1)+(-1,-2,3)+(2,2,-1)=(2,2,3).答案:A6.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析:=(5,1,-7),=(2,-3,1).因为·=2×5-3×1-7×1=0,所以.所以∠ACB=90°.又因为||=5,||=,即||≠||,所以△ABC为直角三角形.答案:C7.若空间三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2)共线,则p=,q=.解析:由A,B,C三点共线,则有共线,即=λ.又=(1,-1,3),=(p-1,-2,q+4),所以所以答案:328.若=(-4,6,-1),=(4,3,-2),|a|=1,且a⊥,a⊥,则a=.解析:设a=(x,y,z),则有解此方程组得答案:9.已知a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是.解析:∵a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),a与b的夹角为钝角.∴cos<0,∴a·b<0,∴(x,2,0)·(3,2-x,x2)<0,即3x+4-2x<0,x<-4.易知a与b不共线,∴x的取值范围为x<-4.答案:x<-4110.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值.解:(1)∵a∥b,∴,解得x=2,y=-4,故a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又b⊥c,∴b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,故c=(3,-2,2).(2)由(1)可得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),设向量a+c与b+c所成的角为θ,则cosθ==-.11.已知向量a=(0,-1,1),b=(2,2,1),计算:(1)|2a-b|;(2)cos􀎮a,b􀎮;(3)2a-b在a上的投影.解:(1)∵a=(0,-1,1),b=(2,2,1),∴2a-b=2(0,-1,1)-(2,2,1)=(-2,-4,1),∴|2a-b|=.(2)∵a=(0,-1,1),b=(2,2,1),∴a·b=(0,-1,1)·(2,2,1)=-2+1=-1,|a|=,|b|==3,∴cos􀎮a,b􀎮==-.(3)∵(2a-b)·a=(-2,-4,1)·(0,-1,1)=5,∴2a-b在a上的投影为.12.在Rt△ABC中,AC=BC=1,∠BCA=90°.现将△ABC沿着与平面ABC的垂直的方向平移到△A1B1C1的位置,已知AA1=2,分别取A1B1,A1A的中点P,Q.(1)求的模;(2)求cos􀎮􀎮,cos􀎮􀎮,并比较􀎮􀎮与􀎮􀎮的大小;(3)求证:AB1⊥C1P.解:以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知得C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C'(0,0,2),P,Q(1,0,1),B1(0,1,2),A1(1,0,2),则=(1,-1,1),=(0,1,2),=(1,-1,2),=(-1,1,2),.(1)||=.(2)∵·=0-1+2=1,||=,||=,∴cos􀎮􀎮=.又∵·=0-1+4=3,,||=,∴cos􀎮􀎮=.∵0<<1,∴􀎮􀎮∈,􀎮􀎮∈.又y=cosx在内递减,∴􀎮􀎮>􀎮􀎮.(3)证明:∵·=(-1,1,2)·=0,∴,即AB1⊥C1P.备选习题1.点A(x2+4,4-y,1+2z)关于y轴的对称点是(-4x,9,7-z),则x,y,z的值依次为()A.1,-4,9B.2,-5,-8C.2,5,8D.-2,-5,82解析:∵点A(x2+4,4-y,1+2z)关于y轴的对称点为(-4x,9,7-z),∴解得答案:B2.已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).(1)求△ABC的面积.(2)求△ABC中AB边上的高.解:(1)由已知,得=(1,-3,2),=(2,0,-8),∴||=,||==2·=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,∴cos<>==,∴sin<>=.∴S△ABC=|·||·sin<>=×2=3.(2)设AB边上的高为CD,则||==3,即△ABC中AB边上的高为3.3.已知关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,a=(-1,1,3),b=(1,0,-2),c=a+tb.(1)在|c|取最小值时,求t的值.(2)在(1)的情况下,求b和c的夹角的余弦值.解:(1)∵关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,∴Δ=(t-2)2-4(t2+3t+5)≥0,即-4≤t≤-.又c=(-1,1,3)+t(1,0,-2)=(-1+t,1,3-2t),∴|c|==.∵t∈时,上述关于t的函数递减,∴t=-时,|c|取最小值.(2)当t=-时,c=.∴cos==-.∴b和c的夹角的余弦值为-.3