考点规范练25平面向量的应用基础巩固组1.已知a=(3,4),b=(sinθ,cosθ),若a∥b,则sinθ+cosθsinθ-cosθ=()A.7B.17C.-17D.-7答案D解析因为a∥b,所以3cosθ-4sinθ=0,即tanθ=34,所以sinθ+cosθsinθ-cosθ=tanθ+1tanθ-1=34+134-1=-7.故选D.2.已知|a|=2|b|,|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x-a·b=0有两个相等的实数根,则向量a与b的夹角是()A.-π6B.-π3C.π3D.2π3答案D解析设向量a与b的夹角为θ.由已知可得Δ=|a|2+4a·b=0,即4|b|2+4×2|b|2cosθ=0,∴cosθ=-12.又0≤θ≤π,∴θ=2π3.3.在△ABC中,已知向量⃗AB与⃗AC满足(⃗AB|⃗AB|+⃗AC|⃗AC|)·⃗BC=0且⃗AB|⃗AB|·⃗AC|⃗AC|=12,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形答案D解析设∠BAC的角平分线为AD,则⃗AB|⃗AB|+⃗AC|⃗AC|=λ⃗AD.由已知得AD⊥BC,∴△ABC为等腰三角形.又⃗AB|⃗AB|·⃗AC|⃗AC|=12,即cosA=12,∴A=60°,∴△ABC为等边三角形.故选D.4.1在△ABC中,AB=8,AC=6,AD垂直BC于点D,E,F分别为AB,AC的中点,若⃗DE·⃗DF=6,则BC=()A.2√13B.10C.2√37D.14答案A解析令BC=a,则由条件可知,⃗DE·⃗DF=12¿)·12¿)=14¿)=6.⃗DA2−⃗DB¿)=24①,又在Rt△ADC,Rt△ADB中有⃗BD2+⃗DA2=64②,(⃗BC−⃗BD)2+⃗DA2=36③,联立①②③解得⃗BC2=52.∴a=2√13.故选A.5.已知三个向量m=(a,cosA2),n=(b,cosB2),p=(c,cosC2)共线,其中a,b,c,A,B,C分别是△ABC的三条边及相对三个角,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案B解析 m=(a,cosA2)与n=(b,cosB2)共线,∴acosB2=bcosA2.由正弦定理,得sinAcosB2=sinBcosA2. sinA=2sinA2cosA2,sinB=2sinB2cosB2,∴2sinA2cosA2cosB2=2sinB2cosB2cosA2,化简,得sinA2=sinB2.又0
0,即a=3,即点A的横坐标为3.能力提升组9.已知函数f(x)=sin(πx+φ)的部分图象如图所示,点B,C是该图象与x轴的交点,过点C的直线与该图象交于D,E两点,则(⃗BD+⃗BE)·(⃗BE−⃗CE)的值为()A.-1B.-123C.12D.2答案D解析f(x)=sin(πx+φ)的周期为2.∴|⃗BC|=1.D,E关于点C对称,∴C是线段DE的中点,∴(⃗BD+⃗BE)·(⃗BE−⃗CE)=2⃗BC·(⃗BE+⃗EC)=2⃗BC2=2.故选D.10.已知△ABD是等边三角形,且⃗AB+12⃗AD=⃗AC,|⃗CD|=√3,那么四边形ABCD的面积为()A.√32B.32√3C.3√3D.92√3答案B解析如图所示,⃗CD=⃗AD−⃗AC=12⃗AD−⃗AB,∴⃗CD2=(12⃗AD-⃗AB)2,即3=14⃗AD2+⃗AB2−⃗AD·⃗AB. |⃗AD|=|⃗AB|,∴54∨⃗AD|2-|⃗AD||⃗AB|cos60°=3.∴|⃗AD|=2.又⃗BC=⃗AC−⃗AB=12⃗AD,∴|⃗BC|=12∨⃗AD|=1.∴|⃗BC|2+|⃗CD|2=|⃗BD|2.∴BC⊥CD.∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12×22×sin60°+12×1×√3=32√3,故选B.11.设P为△ABC所在平面上一点,且满足3⃗PA+4⃗PC=m⃗AB(m>0).若△ABP的面积为8,则△ABC的面积为()A.7B.8C.14D.16答案C4解析由3⃗PA+4⃗PC=m⃗AB得37⃗PA+47⃗PC=m7⃗AB,设⃗PD=37⃗PA+47⃗PC=m7⃗AB,(如图...
