高中数学4.3.3三次函数的性质:单调区间和极值同步精练湘教版选修2-21.有下列命题:①一个函数的极大值总比极小值大;②函数导数为0的点不一定是极值点;③一个函数的极大值可以比最大值大;④一个函数的极值点可在其不可导点处达到.其中正确命题的序号是().A.①④B.②④C.①②D.③④2.函数f(x)=x3+x在区间-1,1]上().A.最小值为-1,最大值为2B.最小值为-2,最大值为2C.最小值为-1,最大值为1D.最小值为0,最大值为13.三次函数f(x)=x3+bx2+cx+d与x轴的交点个数最多为().A.1B.2C.3D.44.函数y=2-x2-x3的极值情况是().A.有极大值,没有极小值B.有极小值,没有极大值C.既无极大值,也无极小值D.既有极大值又有极小值5.函数f(x)=x3-3x2+2在区间-1,1]上的最大值是().A.-2B.0C.2D.46.若f(x)=x3+mx2+5x+1在(-∞,+∞)上是增函数,则m的取值范围是__________.7.函数f(x)=9+3x-x3的极小值为__________.8.函数y=4x2(x-2)在x∈-2,2]上的最大值和最小值分别为__________.9.已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.(1)设a=1,求函数f(x)的极值;(2)若a>,且当x∈1,4a]时,|f′(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围.10.已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设函数f(x)在区间内是减函数,求a的取值范围.1参考答案1.B2.B∵f′(x)=3x2+1>0,∴f(x)为增函数.∴f(x)的最小值为f(-1)=-2,f(x)的最大值为f(1)=2.3.C4.Dy′=-3x2-2x=-3x.令y′=0,∴x=0或-.当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0.∴f(x)在x=-处取得极小值,在x=0处取得极大值.5.Cf′(x)=3x2-6x.令f′(x)=0,得x=0或2(舍去).∵f(0)=2,f(1)=0,f(-1)=-2,∴f(x)最大值=2.6.-≤m≤f′(x)=3x2+2mx+5,由(2m)2-4×3×5≤0,得-≤m≤.7.7f′(x)=3-3x2=-3(x-1)(x+1),当x<-1时,f′(x)<0,当-1<x<1时,f′(x)>0,∴f(x)在x=-1处取得极小值,f(-1)=9-3+1=7.8.0,-64令y′=12x2-16x=0,∴x=0或x=.当x∈(-2,0)时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.故f(x)在x=0时取得极大值,在x=时取得极小值.又∵f(0)=0,f(-2)=-64,f(2)=0,f=-,∴函数的最大值为0,最小值为-64.9.解:(1)当a=1时,对函数f(x)求导数,得f′(x)=3x2-6x-9.令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.列表讨论f(x),f′(x)的变化情况如下:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值6极小值-26所以,f(x)的极大值是f(-1)=6,极小值是f(3)=-26.(2)f′(x)=3x2-6ax-9a2的图象是一条开口向上的抛物线,关于x=a对称.若<a≤1,则f′(x)在1,4a]上是增函数,从而f′(x)在1,4a]上的最小值是f′(1)=3-6a-9a2,最大值是f′(4a)=15a2.由|f′(x)|≤12a,得-12a≤3x2-6ax-9a2≤12a,于是有f′(1)=3-6a-9a2≥-12a,且f′(4a)=15a2≤12a.2由f′(1)≥-12a得-≤a≤1,由f′(4a)≤12a得0≤a≤.所以a∈∩∩,即a∈.若a>1,则|f′(a)|=12a2>12a,故当x∈1,4a]时|f′(x)|≤12a不恒成立.所以使|f′(x)|≤12a(x∈1,4a])恒成立的a的取值范围是.10.解:(1)∵f(x)=x3+ax2+x+1,∴令f′(x)=3x2+2ax+1=0,当Δ=(2a)2-3×4=4a2-12≤0,即-≤a≤时,f′(x)≥0恒成立,此时f(x)为在(-∞,+∞)上为增函数.当Δ=4a2-12>0,即a>或a<-时,函数f′(x)存在零点,此时,当x<或x>时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当<x<时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.(2)若函数在区间内是减函数,说明f′(x)=3x2+2ax+1=0的两根在区间外,因此f′≤0,且f′≤0,由此可以解得a≥2.因此a的取值范围是2,+∞).S3