第1课时变化率问题与导数的概念基础达标(水平一)1.函数y=f(x)的自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy等于().A.f(x0+Δx)B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·ΔxD.f(x0+Δx)-f(x0)【解析】自变量x0和x0+Δx对应的函数值分别为f(x0)和f(x0+Δx),两式相减,即为函数值的改变量.【答案】D2.已知函数f(x)=ax+4,若=2,则实数a的值为().A.2B.-2C.3D.-3【解析】=2,即f'(1)=2,而f'(1)==a,所以a=2.【答案】A3.已知函数f(x)=2x2+1的图象上点P(1,3)及邻近点Q(1+Δx,3+Δy),则=().A.4B.4ΔxC.4+2ΔxD.2Δx【解析】由题意,Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2+1-3=4Δx+2(Δx)2,∴==4+2Δx.【答案】C4.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是().A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度【解析】在0到t0范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同;在t0到t1范围内,甲、乙所用的时间相同,而甲走的路程较多,所以甲的平均速度较大.【答案】C15.函数y=cosx在区间上的平均变化率为;在区间上的平均变化率为.【解析】当x∈时,==;当x∈时,===-.因此,y=cosx在区间和区间上的平均变化率分别是和-.【答案】-6.过曲线y=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率k=.【解析】割线的斜率k===2+Δx.当Δx=0.1时,k=2.1.【答案】2.17.在某赛车比赛中,一赛车位移s(单位:m)与比赛时间t(单位:s)存在函数关系s=10t+5t2.(1)当t=20,Δt=0.1时,求Δs与的值;(2)求当t=20时的瞬时速度.【解析】(1)Δs=s(20+Δt)-s(20)=10×(20+0.1)+5×(20+0.1)2-10×20-5×202=1+20+5×0.01=21.05m,==210.5m/s.(2)因为==5Δt+210,当Δt趋于0时,趋于210,所以赛车在t=20时的瞬时速度为210m/s.拓展提升(水平二)28.已知函数f(x)在x=1处存在导数,则=().A.f'(1)B.3f'(1)C.f'(1)D.f'(3)【解析】==f'(1).【答案】C9.已知点P(x0,y0)是抛物线y=3x2+6x+1上的一点,且f'(x0)=0,则点P的坐标为().A.(1,10)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(-1,10)【解析】∵===3Δx+6x0+6,∴f'(x0)==(3Δx+6x0+6)=6x0+6=0,解得x0=-1.把x0=-1代入y=3x2+6x+1,得y=-2.∴点P的坐标为(-1,-2).【答案】B10.设函数f(x)=ax+b,若f(1)=f'(1)=2,则f(2)=.【解析】由导数的定义可知f'(1)====a.∵f'(1)=2,∴a=2.又f(1)=2,∴a+b=2,∴b=0,∴f(x)=2x,f(2)=4.【答案】411.已知函数f(x)=x+(x>0).(1)记函数f(x)从x=到x=2的平均变化率为3
