课时分层训练(四十二)立体几何中的向量方法A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)A[逐一验证法，对于选项A，MP＝(1,4,1)，∴MP·n＝6－12＋6＝0，∴MP⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．]2．如图779，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()【导学号：51062249】图779A.B．－C.D．－A[不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1＝(0,2,0)，B1(0,2,1)，∴BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)．cos〈BC1，AB1〉＝＝＝.]3．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.aB.aC.aD.aA[以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)， 点M在AC1上且AM＝MC1，(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，∴x＝a，y＝，z＝.得M，∴|MN|＝＝.]4．已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.A[如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，－1,0)，B1(，0,2)，则AB1＝(，1,2)，则BO＝(－，0,0)为侧面ACC1A1的法向量．即sinθ＝＝.故选A.]15．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.B[以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴A1D＝(0,1，－1)，A1E＝.设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，∴有即解得∴n1＝(1,2,2)． 平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)．∴cos〈n1，n2〉＝＝，即所成的锐二面角的余弦值为.]二、填空题6．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的序号是________．①②③[ AB·AP＝0，AD·AP＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又AB与AD不平行．∴AP是平面ABCD的法向量，则③正确．由于BD＝AD－AB＝(2,3,4)，AP＝(－1,2，－1)，∴BD与AP不平行，故④错误．]7．(2017·杭州模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量，则n·A1B＝0，n·A1C1＝0，即令z＝2，则y＝1，x＝2，于是n＝(2,1,2)，D1C1＝(0,2,0)．设所求线面角为α，则sinα＝|cos〈n，D1C1〉|＝.]8．在一直角坐标系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为________.【导学号：51062250】2[如图为折叠后的图形，其中作AC⊥CD，BD⊥CD，则AC＝6，BD＝8，CD＝4，两异面直线AC，BD所成的角为60°.故由AB＝AC＋CD＋DB，得|AB|2＝|AC＋CD＋DB|2＝68，∴|AB|＝2.]三、解答题9．(2017·舟山模拟)如图7710，四棱锥SABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，且SE＝2EB.2图7710(1)证明：DE⊥平面SBC；(2)求二面角ADEC的大小．[解]由题意，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)，DB＝(1,1,0)，DS＝(0,0,2).2分(1)证明： SE＝2EB，∴DE＝DB＋DS＝(1,1,0)＋(0,0,2)＝.又BC＝(－1,1,0)，BS＝(－1，－1,2)，∴DE·BC＝0，DE·BS＝0，4分∴DE⊥BC，DE⊥BS.又BC∩BS＝B，∴DE⊥平面SBC.6分(2)由(1)知，DE⊥平面SBC， EC⊂平面SBC，∴DE⊥EC.9分取DE的中点F，则F，FA＝，故FA·DE＝0，由此得FA⊥DE.12分∴向量FA与EC的夹角等于二面角ADEC的平面角，又cos〈FA，EC〉＝＝－，∴二面角ADEC的大小为120°.15分10．在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF...
