2.4.2抛物线的几何性质课时过关·能力提升1.抛物线y=4x2的准线方程为()A.y=−14B.y=18C.y¿116D.y=−116解析:由题意知x2¿14y,所以p¿18.准线方程为y=−116.答案:D2.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=()A.2√2B.2√3C.4D.2√5解析:由抛物线的定义,知p2+2=3,所以p=2,即抛物线方程为y2=4x.因为点M(2,y0)在抛物线上,所以y0=±2√2,故|OM|¿√4+y02=2√3.答案:B3.如果点M(5,3)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是()A.y=12x2B.y=-36x2C.y=12x2或y=-36x2D.y¿112x2或y=−136x2解析:分a>0,a<0两种情况,可得y¿112x2或y=−136x2.答案:D★4.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为()A.12B.1C.2D.4解析:圆x2+y2-6x-7=0的圆心坐标为(3,0),半径为4.y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2,∴3+p2=4,∴p=2.故选C.答案:C5.焦点在x轴的负半轴上,并且过点(-4,2)的抛物线的标准方程为.解析:设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0).1因为抛物线过点(-4,2),所以22=-2p×(-4),即p¿12.故所求抛物线的标准方程为y2=-x.答案:y2=-x6.若抛物线y2=4x上一点到焦点的距离为5,则这点的坐标为.答案:(4,4)或(4,-4)7.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为.解析:由已知,得F(p2,0),∴B(p4,1),∴2p×p4=1,解得p¿√2.∴B(√24,1).因此点B到该抛物线的准线的距离为√24+√22=3√24.答案:3√248.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点F的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.分析:由题意可先设抛物线方程为y2=-2px(p>0),再求解.解:设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则焦点F(-p2,0),由题意可得{m2=6p,√m2+(3-p2)2=5,解得{m=2√6,p=4或{m=-2√6,p=4.故所求的抛物线方程为y2=-8x,m的值为±2√6.★9.已知点A(2,1)和抛物线y2=x,F为抛物线的焦点,P是抛物线上任意一点.求:(1¿|AP|+|PF|的最小值;(2)点P到直线x+2y+4=0的距离的最小值.分析:利用抛物线的定义及平面几何知识求解.2解:(1)设点P到准线x=−14的距离为d,则|AP|+|PF|=|AP|+d,当PA垂直于准线时,|PA|+d最小,最小值为94.(2)设点P的坐标为(t2,t),则点P到直线x+2y+4=0的距离为|t2+2t+4|√1+4=(t+1)2+3√5,故当t=-1时,点P到直线x+2y+4=0的距离最小,最小值为3√55.3
