高二数学椭圆及其标准方程及几何性质知识精讲 人教版VIP免费

高二数学椭圆及其标准方程及几何性质知识精讲人教版一.本周教学内容：椭圆及其标准方程及几何性质二.重点、难点1.椭圆定义及标准方程定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两点F1F2称为椭圆焦点。两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。注意：（1）定义用集合语言，平面内点集P={M|MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|}，其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点。（2）当2a=|F1F2|时，轨迹是线段F1F2，当2a<|F1F2|时，轨迹不存在。2.椭圆的标准方程（1）方程推导（2）方程：xaybab222210()xbyaab222210()注意：（1）推导过程分四步：①建系；②写出点集；③坐标化；④化简（注意根式的处理和令a2-c2=b2）（2）当且仅当椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上时，椭圆方程才有标准式。（3）两种方程中总有a>b>0，哪个变量的分母大，焦点就在相应的坐标轴上。3.椭圆的几何性质（1）范围：由图，||||xayb由方程||||xayb，（2）对称性：①由图得，关于x轴、y轴和原点对称。②由方程得同样结论。（3）顶点（±a，0），（0，±b）（）离心率4lca【典型例题】例1.F1、F2是椭圆4x2+5y2=20的两个焦点，过F1作倾斜角为45°的弦AB，求△F2AB的周长和面积。用心爱心专心解：椭圆标准方程为，，，xyabc22541521（）由定义：，1||||||||AFAFaBFBFa121222||||||||||||||AFBFABAFAFBFBFa221212445（）直线：，由211452022AByxyxxy得981602yy设，，，，则AxyBxyyyyyyy()()||()1122121221248910SSSFFyycyyFABAFFBFF21212128910121212||(||||)||例2.根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程。（1）长轴长是短轴长的两倍，且过点（2，-6）；（2）x轴上一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为6。分析：解此类问题的基本方法是“待定系数法”对于（），可设所求方程为或11122222222xaybyaxb由a=2b及（2，-6）是椭圆上的点，可解得椭圆方程为xyyx222214837152131或对于（），可设椭圆方程为212222xayb由题意，，，cbcabc3318222所求椭圆方程为xy221891例3.已知椭圆经过点，和点，，求它的标准方程。()221142分析：已知椭圆经过两点，求它的标准方程，一般需分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况讨论。但我们若设椭圆标准方程为，，当xAyBABAB22100()时，椭圆焦点在x轴上，当B>A时，椭圆焦点在y轴上，则可避免讨论。解：设椭圆的标准方程为，xAyBAB22100()椭圆经过，和，两点()221142用心爱心专心412111172112ABAB()()()()241123，得B1143B()()()31118代入得，A所求椭圆的方程是xy22841例4.如图所示，原点O是线段AB的中点，已知定圆A的半径为2a，点B在圆A内部，AB=a，现有动圆M过点B且与圆A相切，求满足此条件的△MAB面积的最大值。解： 动圆M过点B与圆A相切||||||||MAaMBMAMBa22，即||ABaa2∴动圆圆心M在以A，B为焦点，以2a为长轴长的椭圆上。取A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则动点所在椭圆的方程为Mxaya2222341椭圆在轴上的顶点为，，，yaa032032易知面积的最大值为MABSaaamax1232342例5.已知直线和椭圆交于、若以为直径yxxmymmABAB111122(),的圆过椭圆的左焦点F，求实数m的值。分析：对“以AB为直径的圆过点F”可有两条途径去证：一是证明°，即证或；AFBkkFAFBAFBF9010二是证明以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0过F。解：椭圆中，，，，，，ambmccF22211110()由，消去得yxxmymymxmxmm111212202222()(*)用心爱心专心设，，，，则由韦达定理，AxyBxyxxmmxxmmm()()112212122221221FAxyFBxy()()112211，，，FAFBxxy...