第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升基础达标练1.若椭圆x2a2+y25=1(a>√5)的长轴长为6,则它的焦距为()A.4B.3C.2D.1解析椭圆x2a2+y25=1(a>√5)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,则它的焦距为2c=4,故选A.答案A2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则椭圆的离心率为()A.13B.√33C.√22D.12解析因为2x2+3y2=m(m>0),所以x2m2+y2m3=1.所以c2=m2−m3=m6.故e2=13,解得e=√33.答案B3.焦点在x轴上,长、短半轴之和为10,焦距为4√5,则椭圆的标准方程为()A.x236+y216=1B.x216+y236=1C.x26+y24=1D.y26+x24=1解析由题意得c=2√5,a+b=10,所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为x236+y216=1.答案A4.阿基米德(公元前287年~公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上,且椭圆C的离心率为√74,面积为12π,则椭圆C的方程为()A.x23+y24=1B.x29+y216=1C.x24+y23=1D.x216+y29=1解析由题意可得{abπ=12πca=√74a2=b2+c2,解得a=4,b=3,因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆方程为x216+y29=1.答案D5.(多选题)已知椭圆x2k+8+y29=1的离心率e=12,则k的值可能是()A.-4B.4C.-54D.54解析(1)当焦点在x轴上,即当k+8>9,即k>1时,由椭圆的标准方程得a=√k+8,b=3,则c=√a2-b2=√k-1,所以椭圆的离心率e=ca=√k-1√k+8=12,解得k=4.(2)当焦点在y轴上,即当0
0,所以a2>1,故1b>0)的两焦点与短轴的一个顶点恰组成一个正三角形的三顶点,且椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为√3,则椭圆C的方程为.解析因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰组成一个正三角形的三顶点,所以有tan60°=bc⇒b=√3c.又因为椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为√3,所以有a-c=√3,而a2=b2+c2,三个等式联立得{b=√3ca-c=√3a2=b2+c2⇒{a=2√3b=3,所以椭圆的标准方程为x212+y29=1.答案x212+y29=110.已知椭圆x24+y23=1,在该椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等,设M(x,y)(-2≤x≤2),则√(x-1)2+y2=|x-4|,两边平方得y2=-6x+15.又由x24+y23=1,得y2=3(1-x24),代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,解得x=4.因为-2≤x≤2,所以符合条件的点M不存在.能力提升练1.(多选题)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2=120°,则椭圆的离心率e可以是()A.√22B.√32C.34D.78解析当P是椭圆的上下顶点时,∠F1PF2最大,∴120°≤∠F1PF2<180°,∴60°≤∠F1PO<90°,∴sin60°≤sin∠F1PO
