1.3.1二项式定理考试要求掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．基础训练一、选择题1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是()A．2nB．2n＋1C．2n－1D．2(n＋1)B2．在(x－)10的展开式中，x6的系数是()A．－27CB．27CC．－9CD．9CD∵Tr＋1＝Cx10－r(－)r.令10－r＝6，解得r＝4.∴系数为(－)4C＝9C.3．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是()A．－4B．－2C．2D．4C(1＋2)3(1－)5＝(1＋6＋12x＋8x)(1－)5，故(1＋2)3(1－)5的展开式中含x的项为1×C(－)3＋12xC＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.4．在n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是()A．3B．5C．8D．10BTr＋1＝C(2x3)n－rr＝2n－r·Cx3n－5r.令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.∴n的最小值为5.5．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是()A．－297B．－252C．297D．207Dx5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．∴其系数为C＋C(－1)＝207.6．(2009·北京)在n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是()A．3B．4C．5D．6D通项Tr＋1＝C(x2)n－r(－)r＝(－1)rCx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且C＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D.7．(2010·陕西理，4)(x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于()1A．－1B.C．1D．2DC·xr()5－r＝C·a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，由C·a＝10，得a＝2.8．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()A.＜x＜B.＜x＜C.＜x＜D.＜x＜A由得∴＜x＜.二、填空题9．(1＋x＋x2)·(1－x)10的展开式中，x5的系数为____________．－16210．(1＋x)2(1－x)5的展开式中x3的系数为________．5解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3·(1－x2)2＝(1－x)3(1＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)·C(－1)＝5；解法二：C(－1)3＋C·C(－1)2＋CC(－1)＝5.11．(2010·辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．－5(1＋x＋x2)6＝6＋x6＋x26，∴要找出6中的常数项，项的系数，项的系数，Tr＋1＝Cx6－r(－1)rx－r＝C(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，令6－2r＝－1，无解．令6－2r＝－2，∴r＝4.∴常数项为－C＋C＝－5.三、解答题12．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.∴，，…，.x2的系数C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C＋C＝156.＝(－)r·C·x.13．若41()2nxx展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．通项为：Tr＋1＝C·()n－r·41()2rx由已知条件知：C＋C·＝2C·，解得：n＝8.记第r项的系数为tr，设第k项系数最大，则有：tk≥tk＋1且tk≥tk－1.2又tr＝C·2－r＋1，于是有：即∴解得3≤k≤4.∴系数最大项为第3项T3＝527x和第4项T4＝747x.练后反思3
