课时作业22空间向量的正交分解及其坐标表示时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．以下四个命题中正确的是(B)A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底解析：使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，所以A不正确；△ABC为直角三角形并不一定有AB·AC＝0，可能是BA·BC＝0，也可能是CA·CB＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确．2．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且AB＝－i＋j－k，则B点的坐标为(D)A．(－1,1，－1)B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1)D．不确定解析：AB＝－i＋j－k，只能确定AB的坐标为(－1,1，－1)，而A点坐标不确定，所以B点坐标也不确定．故选D.3．正方体ABCDA′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{AO1，AO2，AO3}为基底，AC′＝xAO1＋yAO2＋zAO3，则x，y，z的值是(A)A．x＝y＝z＝1B．x＝y＝z＝C．x＝y＝z＝D．x＝y＝z＝2解析：AC′＝AB＋BC′＝AB＋BB′＋BC＝AB＋AA′＋AD＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋(AA′＋AD)＝AC＋AB′＋AD′＝AO1＋AO2＋AO3，对比AC′＝xAO1＋yAO2＋zAO3得x＝y＝z＝1.4．若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，又a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为(A)A.，－1，－B.，1，C．－，1，－D.，1，－解析：xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3，由空间向量基本定理，得∴x＝，y＝－1，z＝－.5．点M(－1,3，－4)在坐标平面xOy、xOz、yOz内的射影的坐标分别是(A)A．(－1,3,0)、(－1,0，－4)、(0,3，－4)B．(0,3，－4)、(－1,0，－4)、(0,3，－4)C．(－1,3,0)、(－1,3，－4)、(0,3，－4)D．(0,0,0)、(－1,0,0)、(0,3,0)6．若向量MA、MB、MC的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量MA、MB、MC成为空间一组基底的关系是(C)A.OM＝OA＋OB＋OCB.MA≠MB＋MC1C.OM＝OA＋OB＋OCD.MA＝2MB－MC解析：A中M、A、B、C共面，因＋＋＝1；B中可能共面，MA≠MB＋MC，但可能MA＝λMB＋μMC；D不对， MA＝2MB－MC，∴四点共面，故选C.7．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(A)A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)解析：OA＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.8．已知正方体OABCO′A′B′C′的棱长为1，若以OA，OC，OO′为基底，则向量OB′的坐标是(A)A．(1,1,1)B．(1,0,1)C．(－1，－1，－1)D．(－1,0,1)解析：由向量的线性运算知OB′＝OA＋OC＋OO′，所以OB1的坐标是(1,1,1)．二、填空题9．设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为②(填写代号)．解析：① a－b与a，b共面，∴a－b与a，b不能构成空间的一个基底．② a＋b－c与a，b不共面，∴a＋b－c与a，b构成空间的一个基底．10．{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x＝0，y＝0，z＝0.解析：若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，∴a，b，c共面．这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0.11．已知四面体ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF＝3a＋3b－5c.解析：如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则EF＝GF－GE＝CD－BA＝CD＋AB＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c.三、解答题12．如下图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量OA，OB，OC表示OP和OQ.2解：OP＝OM＋MP＝OA＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋(ON－OA)＝OA＋×(OB＋OC)＝OA＋OB＋OC；OQ＝OM＋MQ＝OA＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋(ON－OA)＝OA＋×(OB＋OC)＝OA＋OB＋OC.13．如下...
