课时跟踪检测（十六）抛物线的简单性质一、基本能力达标1．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y解析：选C依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.2．若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A．5pB．10pC．11pD．12p解析：选B将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p. 直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p.3．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上的一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4解析：选C如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，所以|y0|＝2，所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．16解析：选B由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°.△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.5．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是________．解析：设抛物线的方程为y2＝2ax，则F.∴|y|＝＝＝|a|.由于通径长为6，即2|a|＝6，∴a＝±3.∴抛物线方程为y2＝±6x.答案：y2＝±6x6．已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________．解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′.由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2.又|PQ|＝y0＋，所以y0＋＝2，解得y0＝.答案：7．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM|的值．解：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为，准抛物线方程为x＝－.1 M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即∴＝＝3.解得：p＝1，y0＝±2，∴抛物线方程为y2＝2x.∴点M(2，±2)，根据两点间距离公式有：|OM|＝＝2.8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．解：(1)由抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)，可得16＝4p，解得p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y＝kx＋2.由得ky2－8y＋16＝0.由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.综上直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.二、综合能力提升1．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有两条C．有无穷多条D．不存在解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min＝2p＝4，所以这样的直线有两条．故选B.2．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝＝＝＝.所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.答案：3．已知抛物线y2＝x，则弦长为定值1的焦点弦有________条．解析：因为通径的长2p为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a，若a>2p，则焦点弦存在两条；若a＝2p，则焦点弦存在一条；若a<2p，则焦点弦不存在．由y2＝x知p＝，则通径长2p＝，因为1>，所以弦长为定值1的焦点弦有2条．答案：24．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，则2焦点F，直线l：x＝，∴A，B两点坐标分别为，，∴|AB|＝2|a|. △OAB的面积为4，∴··2|a|＝4，∴a＝±2.∴抛物线方程为y2＝±4x.5．设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的...
