课时作业20空间向量与空间角[基础巩固]一、选择题1．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.2．已知A∈α，P∉α，PA＝(－，，)，平面α的一个法向量n＝(0，－，－)，则直线PA与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．150°3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.B.C.D.5．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.二、填空题6．设直线l1的方向向量为s1＝(1,1,1)，直线l2的方向向量为s2＝(－2,2，－2)，则l1，l2夹角的余弦值为________．7．正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．8．已知A(2,2,0)，B(1,4,2)，C(0,0,1)，则原点O到平面ABC的距离为________．三、解答题9．如图，已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB＝4.求异面直线AQ与PB所成角的余弦值．10．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP.(1)求证：PA⊥BD；(2)若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D－PC－B的正弦值．1[能力提升]11．已知矩形ABCD与ABEF全等，D－AB－F为直二面角，M为AB中点，FM与BD所成角为θ，且cosθ＝，则AB与BC的边长之比为()A．1∶1B.∶1C.∶2D．1∶212．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为________．13．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．14．已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点．(1)求证：AE∥平面PFQ；(2)求AE与平面PFQ间的距离．2课时作业20空间向量与空间角1．解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB＝1，则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，A1B＝(0,1，－2)，AD1＝(－1,0,2)，cos〈A1B，AD1〉＝＝＝－，所以异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D答案：D2．解析：设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈PA，n〉|＝＝.又θ∈[0°，90°]，所以θ＝60°.答案：C3．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E(1,1，)，所以DA1＝(1,0,1)，DE＝(1,1，)．设平面A1ED的法向量为n＝(x，y，z)，则n·DA1＝0，且n·DE＝0，即令x＝1，得y＝－，z＝－1，所以n＝(1，－，－1)．又平面ABCD的一个法向量为DD1＝(0,0,1)．所以cos〈n，DD1〉＝＝－.所以平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.答案：B4．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，∴BC1＝(－2,0,1)．连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一个法向量为a＝AC＝(－2,2,0)．∴所求角的正弦值为|cos〈a，BC1〉|＝＝＝.答案：D5．解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图．设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC＝3(0,1,0)，DB＝(1,1,0)，DC1＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB，n⊥DC1，所以有令y＝－2，可得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC〉|＝＝.答案：A6．解析： cos〈s1，s2〉＝＝＝－＜0，∴〈s1，s2〉＞，∴l1，l2的夹角θ＝π－〈s1，s2〉，∴cosθ＝.答案：7．解析：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC＝1，则A，B，C，D，所以BA＝，BD＝，CD＝.设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，CD〉＝＝，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.答案：8．解析：由题意得AB＝(－1,2,2)，AC＝(－2，－2,1)，设平面ABC的法向...
