高考达标检测（五十七）坐标系1．在极坐标系中，直线ρ(sinθ－cosθ)＝a与曲线ρ＝2cosθ－4sinθ相交于A，B两点，若|AB|＝2，求实数a的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x－y＋a＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，所以圆心C的坐标为(1，－2)，半径r＝，所以圆心C到直线的距离为＝＝，解得a＝－5或a＝－1.故实数a的值为－5或－1.2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos上任意两点间的距离的最大值．解：由ρ＝4cos可得ρ2＝4ρ＝2ρcosθ＋2ρsinθ，即得x2＋y2＝2x＋2y，配方可得(x－1)2＋(y－)2＝4，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4.3．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.4．在极坐标系中，求直线ρcos＝1与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标．解：ρcos＝1化为直角坐标方程为x－y＝2，即y＝x－2.ρ＝4sinθ可化为x2＋y2＝4y，把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，所以x＝，y＝1.所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.5．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：(1)直线的极坐标方程；(2)极点到该直线的距离．解：(1)如图，由正弦定理得＝.即ρsin＝sin＝，∴所求直线的极坐标方程为ρsin＝.(2)作OH⊥l，垂足为H，在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，则OH＝OAsin＝，即极点到该直线的距离等于.6．(2016·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．解：(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，点R的直角坐标为R(2,2)．(2)设P(cosθ，sinθ)，根据题意可得|PQ|＝2－cosθ，|QR|＝2－sinθ，∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)，当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，∴矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为.7．(2017·南京模拟)已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．解：∵ρ＝kcosθ－ksinθ，∴ρ2＝kρcosθ－kρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0，即2＋2＝k2，∴圆心的直角坐标为.∵ρsinθ·－ρcosθ·＝4，∴直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，∴－|k|＝2.即|k＋4|＝2＋|k|，两边平方，得|k|＝2k＋3，∴或解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为.8．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcosθ－＝4，∴圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.作图如图所示．(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cosα，＋2sinα)，设M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点，得点M的轨迹的参数方程为(α为参数)，即(α为参数)，∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.
