课时跟踪检测（十二）距离的计算一、基本能力达标1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(2，－1,0)在α内，则P(1,3，－2)到α的距离为()A．10B．3C.D.解析：选CPA＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距离为＝＝.2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.aB.aC.aD.a解析：选A以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)． 点M在AC1上且AM＝MC1.∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，∴x＝a，y＝，z＝.于是M.∴|MN|＝＝a.3.如图，P－ABCD是正四棱锥，ABCD－A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，则B1到平面PAD的距离为()A．6B.C.D.解析：选C以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n＝(x，y，z)，由题意知，B1(2,0,0)，A(0,0,2)，D(0,2,2)，P(1,1,4)．AD＝(0,2,0)，AP＝(1,1,2)，∴AD·n＝0，且AP·n＝0.∴y＝0，x＋y＋2z＝0，取z＝1，得n＝(－2,0,1)． B1A＝(－2,0,2)，∴B1到平面PAD的距离d＝＝.4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()A.B.C.D.解析：选C如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2，4)，D1(0,0,4)．∴D1B1＝(2,2,0)，D1A＝(2,0，－4)，AA1＝(0,0,4)，1设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，则n⊥D1B1，n⊥D1A，∴即令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．∴由AA1在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.5．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则C1A＝，C1B1＝(0,1,0)，C1B1＝(0,1，－1)，设平面ABC1的法向量为n＝(x，y,1)，则有，解得n＝，则d＝||＝＝.答案：6．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，M，N分别是棱AD，AB，CD，BC的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，B1(1,1,0)，E，F，D1(0,0,0)，M，N. E，F，M，N分别是棱的中点，∴MN∥EF，A1E∥B1N.∴平面A1EF∥平面B1NMD1.∴平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离．设平面B1NMD1的法向量为n＝(x，y，z)，∴n·D1B1＝0，且n·B1N＝0.即(x，y，z)·(1,1,0)＝0，且(x，y，z)·＝0.∴x＋y＝0，且－x＋z＝0，令x＝2，则y＝－2，z＝1.∴n＝(2，－2,1)，n0＝.∴A1到平面B1NMD1的距离为d＝|A1B1·n0|＝＝.答案：7.如图，已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别是AB和BC的中点．求直线AC到平面PEF的距离．解：由题意知直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，P(0,0,1)，E，F，∴PE＝，PE＝.设n＝(x，y，z)是平面PEF的一个法向量，2则由得令x＝1，则y＝1，z＝，∴n＝.又 AP＝(－1,0,1)，∴d＝＝＝.8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.求点C到平面AEC1F的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．设n为平面AEC1F的法向量，显然n不垂直于平面ADF，故可设n＝(x，y,1)．由得即∴n＝.又＝(0,0,3)．∴C到平面AEC1F的距离为d＝＝＝.二、综合能力提升1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在的直线间的距离为()A.aB．aC.aD.解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)．∴A1B＝(0，a，－a)，BC1＝(－a,0，a)．∴|A1B|＝a，|BC1|＝a.∴点A1到BC1的距离d＝＝＝a.2．已知PD⊥正方形ABCD所在平面，PD＝AD＝1，则C到平面PAB的距离d＝()A．1B.C.D.解析：选C以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，∴AP＝(－1,0,1)，AB＝(0,1,0)，AC＝(－1,1,0)，设平面PAB的法向...
