高考数学大一轮复习 第十章 计数原理 10.3 二项式定理试题 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第十章计数原理10.3二项式定理试题理北师大版1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(r＝0,1,2，…，n)2.二项式系数的性质(1)0≤r≤n时，C与C的关系是C＝C.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为和.(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.【知识拓展】二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Can－rbr是二项展开式的第r项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×)(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(×)1．(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．CB．CC．CD．(－1)m－1C答案D解析(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1.2．(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A．－15x4B．15x4C．－20ix4D．20ix4答案A解析由题意可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.故选A.3．(2016·南昌模拟)已知n＝，那么n展开式中含x2项的系数为()A．130B．135C．121D．139答案B解析根据题意，n＝，则6中，由二项式定理得通项公式为Tr＋1＝C(－3)rx6－2r，令6－2r＝2，得r＝2，所以系数为C×9＝135.4．在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．答案7解析由题意知＋1＝5，解得n＝8，(－)8的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r(－)r＝，令8－＝0，得r＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C＝7.题型一二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1(1)(2016·全国乙卷)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是______________．(用数字填写答案)(2)(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60答案(1)10(2)C解析(1)(2x＋)5展开式的通项公式，r∈{0,1,2,3,4,5}，令5－＝3，解得r＝4，得∴x3的系数是10.(2)方法一利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.方法二利用组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.命题点2已知二项展开式某项的系数求参数例2(1)(2015·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.(2)(2016·山东)若5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.答案(1)3(2)－2解析(1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.(2) ，∴10－r＝5，解得r＝2，∴a3C＝－80，解得a＝－2.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．(1)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)(2)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)答案(1)－20(2)解析(1)x2y7＝x·(xy7)，其系数为C，x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C，∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.(2)设通项为Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，∴r＝3，∴x7的系数为Ca3＝15，∴a3＝...