初三数学函数的概念及其图象一次函数与反比例函数知识精讲一.本周教学内容：函数的概念及其图象——一次函数与反比例函数二.重点、难点：（一）函数的概念与表示方法在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于变量x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应。那么，我们就说x是自变量，y是x的函数。函数关系的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法。（二）函数自变量的取值范围1.如果用解析式表示函数，那么自变量的取值应使解析式有意义。如：y＝含有x的整式（全体实数）y＝含x的奇次根式（全体实数）y＝含x的二次根式（使被开方式大于等于零的所有实数）y＝含x的分式（使分母不为零的所有实数）2.如果用图象表示函数，那么自变量的取值范围是图像上各点对应的横坐标组成的集合。3.如果由实际问题给出的函数，那么自变量的取值既要使函数的解析式有意义，还必须使实际问题有意义。（三）函数的图象1.在函数的解析式中，每组x、y的对应值作为坐标（x，y）所描的点都在函数的图象上。2.函数图像上每一点的坐标（x，y）都满足函数的解析式。3.画函数图象的步骤：列表、描点、连线、标解析式。（四）一次函数2.图象：过（0，b）点且平行于y＝kx的一条直线。3.性质：k>0时，图像自左向右是上升的，y随x的增大而增大。k<0时，图像自左向右是下降的，y随x的增大而减小。（五）反比例函数2.图像：双曲线3.性质：当k>0时，图像的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小。当k<0时，图像的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。例1.在平面坐标系内有一点M（x，y），当它的坐标具有以下条件时，分别指出M点在坐标平面的位置。解：（1）当x=0，y>0时，M点在y轴的正半轴上；（2）当x=y时，M点在一、三象限的角平分线上；（3）当xy=0时，M点在坐标轴上；（4）当xy>0时，M点在一、三象限；（5）当y=0时，M点在x轴上；（6）当y>0时，M点在x轴上方；（7）当x<0时，M点在y轴左侧；（8）当|x|=|y|时，M点在两坐标轴的角平分线上。例2.某校初三（5）班学生用班费向某一出版社邮购50本书，每本书价为7.50元，根据出版社规定邮购10本以下（包括10本）需另加邮购费3元，邮购10本以上（不包括10本）需加书价的15%的邮购费，在邮局汇款时，每100元汇款需付汇费1元，汇款不足100元时，按100元汇款付汇费。（1）经班委讨论有两种不同的邮购方案：方案一是每次邮购10本，分5次邮购；方案二是一次性邮购50本，请求出这两种不同邮购方案所需的费用。（2）若邮购本数为a（50≤a≤70），且a是10的整数倍，请比较说明采用哪种方案更省钱。解：（1）方案一：所需费用为：方案二中：需要汇给出版社的费用为：∴还需付汇费5元（2）若邮购本数为a（50≤a≤70），设方案一所需费用为y1设方案二所需费用为y2综上所述，采用方案一邮购更省钱。例3.已知直线l：y＝kx＋b（k≠0）（1）求与l关于x轴对称的直线l1的解析式；（2）求与l关于y轴对称的直线l2的解析式；（3）求与l关于原点对称的直线l3的解析式；（4）求与l关于一、三象限角平分线对称的直线l4的解析式。解：（1）设P1（x，y）是直线l1上的任意一点，则P1关于x轴的对称点P（x，-y）必在直线l上∴P（x，-y）适合：y＝kx＋b（2）设P2（x，y）是直线l2上的任意一点，则P2关于y轴的对称点P（-x，y）必在直线l上∴P（-x，y）适合直线l的解析式：y＝kx＋b（3）设P3（x，y）是直线l3上的任意一点，则P3关于原点的对称点P（-x，-y）必在直线l上（4）设P4（x，y）是直线l4上任意一点，则P4关于一、三象限角平分线的对称点P（y，x）必在l上∴P（y，x）满足直线l的解析式：x＝ky＋b说明：给定直线y＝kx＋b（k≠0），若用（x，-y），（-x，y），（-x，-y），（y，x）分别代替原式中的（x，y），就可得出原直线关于x轴、y轴、原点及第一、三象限角平分线对称的直线的解析式。例4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式。分析：易证：△AEP∽△ABC，根据相似三角...
