初三数学等腰梯形三角形中位线梯形中位线知识精讲一.本周教学内容：等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线1.等腰梯形：性质：等腰梯形的同一底边上的两个内角相等。等腰梯形的两条对角线相等。判定：同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，两条对角线相等的梯形是等腰梯形。2.三角形的中位线定义：我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。3.梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。例1.已知等腰梯形ABCD中，AB=CD，，求它的腰长。分析：要求腰长，也就是求AB的长，通过作辅助线将已知条件集中到一个三角形中，过A作AE//CD交BC于E，得到一个平行四边形AECD和△ABE，易知△ABE是等边三角形，由BE=BC－AD，这样问题就解决了。解：过A作AE//DC交BC于E 四边形ABCD是等腰梯形又 AD//BC，AE//DC∴四边形AECD是平行四边形。∴△ABE是等边三角形。例2.已知：如图所示，在等腰梯形ABCD中，对角线AC=BC+AD，求的度数。分析：由等腰梯形的性质得AC=BD，又题设与对角线有关，考虑平移对角线BD到AE的位置，则，需求，猜想△ACE是等边三角形。解：过A作AE//BD交CB的延长线于E，则四边形AEBD是平行四边形。 梯形ABCD是等腰梯形。归纳：对于与对角线有关的等腰梯形问题，可过梯形顶点作对角线的平行线，把两条对角线和上、下底之和集中在一个三角形中，构造等腰三角形应用有关定理解题。例3.等腰梯形ABCD中，AD//BC，，翻折梯形ABCD，使点B重合于D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8。求：（1）BE的长；（2）的正切值。分析：本题运用轴对称及等腰梯形的性质可解决。解：（1）由题意得（2）由（1）得DE=BE=5，在△DEC中，例4.等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3cm，BC=7cm，，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PE交DC于E，使得。（1）求证：（2）求等腰梯形的腰AB的长。证明：（1）由的外角，得（2）过A作易求得在Rt△ABF中，，例5.梯形ABCD中，AD//BC，，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为t/s，求t/s为何值时，梯形PQCD是等腰梯形？分析：设P、Q运动到如图所示位置时，梯形PQCD是等腰梯形分别过D、P作于M，于N，则依等腰梯形的性质可知QN=MC，分别计算QN和MC的长，即可求t的值。解： 四边形ABMD是矩形由QN=MC，得解得即时，梯形PQCD是等腰梯形。例6.已知：如图所示，Rt△ABC中，分别为AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，。（1）求证：CF=DE；（2）若AC=6，AB=10，求四边形DCFE的面积。分析：由题设知DE为△ABC中位线，所以有DE//AC，且，可证DC//EF，四边形DCFE为平行四边形，易求出面积。（1）证明： D、E分别为AB、BC的中点∴四边形DCFE是平行四边形。∴CF=DE。（2）解：由勾股定理，得例7.四边形ABCD对角线AC、BD相交于点P，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF交BD于M，交AC于N，求证：PM=PN。分析：欲证PM=PN，即证，不妨从两个中点着眼考虑，取AD的中点H，则易知HE//BD，HF//AC，由中位线性质可得，命题得证明。证明：取AD中点H，连结HE、HF HE是△ABD的中位线同理HF是△ACD中位线，例8.已知，E、F、G分别是AB、BC、CA的中点，于D。求证：四边形EFDG是等腰梯形。分析：要证四边形EFDG是等腰梯形，需先证它是梯形，再证这个梯形的两腰相等或同一底上的两个角相等。证明：在△ABC中， E、G分别是AB、AC的中点∴EG//BC，即FD//EG EF是△ABC的中位线∴EF//AC，即GC//EF 经过点G与GF平行的直线只有一条∴GD与EF不平行∴四边形EFDG是梯形∴EF是△ABC的中线 DG是Rt△ADC斜边上的中线∴EF=DG∴四边形EFDG是等腰梯形。归纳：运用中位线证明一组对边平行，联合直角三角形斜边中线性质得两腰相等，易错点是证明一个四边形是梯形时，容易出现只证出一组对边平行，就断定这个四边形是梯形的错误。例9.已知：如图所示，E、F分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点。求证：分析：不等关系的...
