(新课程)高中数学《2.2.2-椭圆及其简单几何性质(2)》课件-新人教A版选修2-1VIP专享VIP免费

进一步巩固椭圆的简单几何性质．掌握直线与椭圆位置关系的相关知识．第2课时椭圆方程及性质的应用【课标要求】【核心扫描】与直线和椭圆的位置关系相关的距离、弦长、中点等问题．(重点)与椭圆相关的综合应用问题．(难点)1．2．1．2．自学导引点与椭圆、直线与椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x02a2＋y02b2＝1；点P在椭圆内部⇔x02a2＋y02b2<1；点P在椭圆外部⇔x02a2＋y02b2>1.所以消y得一个一元二次方程(2)直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1.位置关系解的个数Δ的取值相交___解Δ___0相切___解Δ___0相离___解Δ___0两一无>＝<想一想：直线和椭圆的位置关系能不能用中心到直线的距离来判断呢？提示不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等．直线与椭圆的位置关系(1)直线与椭圆有三种位置关系：①相交——直线与椭圆有两个不同的公共点；②相切——直线与椭圆有且只有一个公共点；③相离——直线与椭圆没有公共点．(2)直线与椭圆的位置关系的判断：我们把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线和椭圆的公共点问题，而直线与椭圆的公共点问题，又可以转化为它们的方程所组成的方程组的解的问题，而它们的方程所组成的方程组的名师点睛解的问题通常又可以转化为一元二次方程解的问题，一元二次方程解的问题可以通过判别式来判断，因此，直线和椭圆的位置关系，通常可由相应的一元二次方程的判别式来判断．(3)弦长公式：设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2，∴|AB|＝（x1－x2）2＋（kx1－kx2）2＝1＋k2·（x1－x2）2＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2，其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．或|AB|＝（1ky1－1ky2）2＋（y1－y2）2＝1＋1k2·（y1－y2）2＝1＋1k2×（y1＋y2）2－4y1y2.题型一直线与椭圆的位置关系[思路探索]可先利用弦长公式及两点斜率公式构造方程组，再通过解方程组，得到基本元素a，b的值，从而求得方程．解法一设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.【例1】椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝kOC＝22，代入上式可得b＝2a.再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，其中x1、x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，故(2ba＋b)2－4·b－1a＋b＝4，将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23，∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|＝（k2＋1）（x1－x2）2＝2·4b2－4（a＋b）（b－1）（a＋b）2. |AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①设C(x，y)，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b， OC的斜率为22，∴ab＝22.代入①，得a＝13，b＝23.∴椭圆方程为x23＋23y2＝1.规律方法(1)法一利用了设点代入，作差，借助斜率解题的方法，称作“点差法”或“平方差法”，这是解析几何中解决直线与圆锥曲线相交的常用方法．(2)法二是圆锥曲线弦长的基本求法，是利用两点间的距离公式求得，并结合弦所在直线的斜率．利用弦长公式与根与系数的关系结合较简单，如果是焦点弦可结合椭圆的定义解．解法一如右图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0,(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是(*)方程的两个根，【变式1】已知椭圆x216＋y24＝1，过点P(2，1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法二设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，又 A、B在椭圆上，∴x12＋4y12＝16，x22＋4y22＝16.∴x1＋x2＝8（2k2－k）4k2＋1. P为弦AB的...