1【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7〜9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1.关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。（1）定义法衬M维连续动力系统圧=庄何・在尸（1时虬以心为中心.||&仇期H为半径俶一T川维的球随着时ra的演化在/时刘塗球而即变形酋科维的椭球面.设诊牖球蛊的第I个坐标轴方向的半轴长沁加和心（）卜则滾系统第i个山卩帅加指数知此即连续系窥Lyapunov指数的定5G实际计算时.取IF私岳0）11为皿⑺为常歎），以况沏球心・欧几里徒葩酸为也和E交矢量集｛珂甩…片｝再初始球.由菲线性徽分污程匕拠＞）可⑹分别计算出点33■张工卄衍…、x时坯经过时间r后潼优的输迹・设其终了点分别为工如刚、…、g则令囱⑴二血一硕，斑z=和_盂眈*■■■＞氐F=尬-抵,卿可得新的矢壘集｛蠻隔叫…閱・由于各个矢重在演化过程中吉&会向惫最九附⑷曲＜m＜nr捋魏方向靠拔，因此需要通过SchmidtIE交化不断地対新矢壘逬行置换，即Wblf的文章:中提出的GSR法.表述如下！2定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序functiondX=Rossler_ly(t,X)%Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数%a=0.15,b=0.20,c=10.0%dx/dt=-y-z,%dy/dt=x+ay,%dz/dt=b+z(x-c),a=0.15;b=0.20;c=10.0;x=X(1);y=X(2);z=X(3);%Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y=[X(4),X(7),X(10);X(5),X(8),X(11);X(6),X(9),X(12)];%输出向量的初始化，必不可少dX=zeros(12,1);%Rossler吸引子dX(1)=-y-z;dX(2)=x+a*y;dX(3)=b+z*(x-c);%Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco=[0-1-1;1a0;z0x-c];dX(4:12)=Jaco*Y;求解LE代码：3%计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit=[1,1,1];orthmatrix=[100;010;001];a=0.15;b=0.20;c=10.0;y=zeros(12,1);%初始化输入y(1:3)=yinit;y(4:12)=orthmatrix;tstart=0;%时间初始值tstep=1e-3;%时间步长wholetimes=1e5;%总的循环次数steps=10;%每次演化的步数iteratetimes=wholetimes/steps;%演化的次数mod=zeros(3,1);lp=zeros(3,1);%初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1=zeros(iteratetimes,1);Lyapunov2=zeros(iteratetimes,1);Lyapunov3=zeros(iteratetimes,1);fori=1:iteratetimestspan=tstart:tstep:(tstart+tstep*steps);[T,Y]=ode45('Rossler_ly',tspan,y);%取积分得到的最后一个时刻的值y=Y(size(Y,1),:);%重新定义起始时刻tstart=tstart+tstep*steps;y0=[y(4)y(7)y(10);y(5)y(8)y(11);y(6)y(9)y(12)];%正交化y0=ThreeGS(y0);%取三个向量的模mod(1)=sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2)=sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3)=sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1)=y0(:,1)/mod(1);y0(:,2)=y0(:,2)/mod(2);y0(:,3)=y0(:,3)/mod(3);lp=lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i)=lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i)=lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i)=lp(3)/(tstart);y(4:12)=y0';end%作Lyapunov指数谱图i=1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化functionA=ThreeGS(V)%V为3*3向量4v1=V(:,1);v2=V(:,2);v3=V(:,3);a1=zeros(3,1);a2=zeros(3,1);a3=zeros(3,1);a1=v1;a2=v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3=v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A=[a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为0.0632310.092635-9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为0.090-9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。正交化程序可以根据上面的扩展到N*N向量，这里就不加以说明了，对matlab用户来说应该还是比较简...
