第十章曲线积分和曲面积分VIP免费

第一章第十章曲线积分和曲面积分一、一、基本内容（一）第一型曲线积分与曲面积分1.第一型曲线积分（1）第一型曲线积分的定义niiiiiLsfdszyxf10),,(lim),,(若L是封闭的，则记作Ldszyxf),,(．(2)第一型曲线积分的计算dtttttttfdszyxfL222)]([)]([)]([)](),(),([),,(2.第一型曲面积分（1）第一型曲面积分的定义niiiiiSfdSzyxf10),,(lim),,(（2）第一型曲面积分的计算DyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221)],(,,[),,(（二）第二型曲线积分1第二型曲线积分的定义设)},,(),,,(),,,({),,(zyxRzyxQzyxPzyxF，当LdsPcos，LdsQcos，LdsRcos都存在时，其中}cos,cos,{cos是L的单位切向量，称LLLLRdzQdyPdxRdzQdyPdx为一般形式的第二型曲线积分.2.第二型曲线积分的计算dttztztytxRtytztytxQtxtztytxPRdzQdyPdxL)]())(),(),(()())(),(),(()())(),(),(([3.格林公式及其一些命题（1）格林公式DLdxdyyPxQdyyxQdxyxP)(),(),(（2）若),(yxP、),(yxQ、yP、xQ在单连通域D上均连续，则下列四个命题等价：1)ABQdyPdx只依赖于区域D内的起点A与终点B，而与连结A、B的积分路径无关；2)在区域D上，QdyPdx是某一个函数),(yxF的全微分，且),(),(),(yxbaQdyPdxyxF点),(ba是D内的某一定点，点),(yx是D内的动点；3)yPxQ在区域D上的每一点处都成立；4)0LQdyPdx，其中L是D内的任意一条逐段光滑的闭曲线．（三）第二型曲面积分1.第二型曲面积分的定义称RdxdyQdzdxPdydz为一般形式的第二型曲面积分，当是闭曲面时，积分号将写成．2.第二型曲面积分的计算DdxdyyxfyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(,同理计算dydzzyxP),,(,dzdxzyxQ),,(．3.奥-高公式与斯托克斯公式（1）dxdydzzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)(（2）dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(LRdzQdyPdx4..向量场的散度与旋度称zRyQxPRdxdyQdzdxPdydzVdivFN1lim为散度,称},,{yPxQxRzPzQyRrotF为旋度．二、练习题10.1计算下列第一型曲线积分：（1）计算Ldsyx)(,其中L为连接)0,0(O，)1,0(A，)1,1(B的直线段所围成的围线解：如图10-1，dydsyyxOA;;0:；dxdsxyxxOB2;;:；dxdsyxxAB;1;:．ABOBOALdsyxdsyx)()(22)1(2)(101010dxxdxxxydy．（2）Ldsy，其中L为摆线)sin(ttax，)cos1(tay的第一拱．解：摆线的第一拱，则]2,0[t．LdsyO11ABxy图10-12022)sin()]cos1([)cos1(dttatata2320)2()cos1(2adttaa．（3）Lxyds，其中L是)0(aayx．解：xyyxf),(是关于x的奇函数,而L是关于y轴对称.由第一型曲线积分的对称性知：0Lxyds．（4）Ldsyx22，其中L为圆周axyx22．解：如图10-2，L方程为：ttaytaxsincos,cos2，其中]2,2[t．原式222222)2cos()sincos2(cosdttattata22222cosatdta．（5）Ldsx2，其中L为圆周zyazyx2222．解：L的参数方程为：]2,0[,sin22,sin22,costtaztaytax．adtdtzyxdsttt222．320222cosaadttadsxL．（6）计算球面2222azyx在第一象限上的边界曲线的形心．解：不妨假设1，如图10-3，adsdsMABACBCAB233．ACBCABxxdsM．其中]2,0[,,0,sin,cos:tadtdsztaytaxAB；]2,0[,,sin,cos,0:tadtdstaztayxBC；zOBaxACyaa图10-3(x,y)a/2axyOt图10-2]2,0[,,cos,0,sin:tadtdstazytaxAC．220202sin0cosaadttaadttaMx．故34aMMxx．又由于图形的对称性知34azyx．（7）设L的方程为)0()(2222ayxxayx，其线密度)(1222yxa，求L对于...