第一讲一阶微分方程组及解的存在惟一性定理(2课时）一、目的与要求：了解高阶微分方程与一阶微分方程组的等价关系,理解用向量和矩阵来研究一阶微分方程组的作用,了解微分方程组解的存在唯一性定理.二、重点:一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理.三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义，二者的范数定义及其相关性质。四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。六、教学过程:1课题引入在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质。但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质.例如，已知在空间运动的质点(,,)Pxyz的速度与时间t及该点的坐标的关系为(,,)xyzvvvv123(,,,)(,,,)(,,,)xyzvftxyzvftxyzvftxyz且质点在时刻0t经过点000(,,)xyz，求该质点的运动轨迹.因为,xydxdyvvdtdt和zdzvdt,所以这个问题其实就是求一阶微分方程组123(,,,)(,,,)(,,,)xftxyzyftxyzzftxyz的满足初始条件00(),xtx00(),yty00()ztz的解(),(),()xtytzt.另外,在n阶微分方程(1.12)()(1)(,,,,)nnyfxyyy中，令(1)121,,,nnyyyyyy就可以把它化成等价的一阶微分方程组11221111(,,,,)nnnndyydxdyydxdyydxdyfxyyydx注意，这是一个含n个未知函数11,,,nyyy的一阶微分方程组。含有n个未知函数12,,,nyyy的一阶微分方程组的一般形式为：11122112112(,,,,)(,,,,)(,,,,)nnnndyfxyyydxdyfxyyydxdyfxyyydx（3.1)如果方程组（3.1)右端函数不显含x,则相应的方程称为是自治的.方程组（3。1）在[,]ab上的一个解,是这样的一组函数12(),(),,()nyxyxyx使得在[,]ab上有恒等式12()(,(),(),,())iindyxfxyxyxyxdx(1,2,,)in含有n个任意常数12,,,nCCC的解1112221212(,,,,)(,,,,)(,,,,)nnnnnyxCCCyxCCCyxCCC称为（3.1）的通解.如果通解满足方程组11212212121212(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0nnnnnnnxyyyCCCxyyyCCCxyyyCCC则称后者为（3。1)的通积分.如果已求得(3.1）的通解或通积分,要求满足初始条件1010202000(),(),,()nnyxyyxyyxy(3.2)的解，可以把初始条件(3。2）代入通解或通积分之中，得到关于12,,,nCCC的n个方程式，如果从其中解得12,,,nCCC，再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解。2一阶微分方程组的向量和矩阵表示为了简洁方便,经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3。1).令n维向量函数12()()(),()nyxyxYxyx11221212(,,,,)(,,,,)(,)(,,,,)nnnnfxyyyfxyyyFxYfxyyy并定义111(),dydxdydYxdxdxdydx00001()()()()xxxxnxxxnxfxdxfxdxFxdxfxdx则（3.1）可记成向量形式(,)dYFxYdx(3.3)初始条件（3。2)可记为00(),YxY其中102000nyyYy（3.2)′（3。3)的满足(3。2)′的初值问题可记为00(,)()dYFxYdxYxY(3。4)这样,从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了。进一步，对n维向量Y和矩阵()ijAa,12,nyyYy111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa定义1,niiYy,1nijijAa易于证明以下性质：1.0Y，且0Y，当且仅当0Y(0表示零向量，下同)；2.1212YYYY；3.对任意常数，有YY;4.0A;5。ABAB；6.对任意常数，有AA；7.AYAY;8.ABAB。称Y和A分别为向量Y和矩阵A的范数。进而还有如下性质00()()xxxxFxdxFxdx有了n维空间的范数定义后，我们可以定义按范数收敛的概念。即：如果对[,]ab上的任意x,有lim()()0nnYxYx则称()nYx在[,]ab上按范数收敛于Y（x).如果上式对[,]ab上的x为一致的，则称()nYx在上[,]ab按范数一致收敛于()Yx.另外,如果对n维向量函数F（x)有00lim()()0xxFxFx则称()Fx在0x连续。如果()Fx在区间[,]ab上每一点0x都连续，则称()Fx在区间[,]ab上连续。有了以上准备，完全类似于第二章定理2。2,我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理。定理3.1如果函数(,)FxY在1n维空间的区域00:,RxxaYYb上满足：1）连续；2）关于Y满足李普希兹条件，即存在0N,使对于R上任意两点1(,),xY2(,)xY，有1212(,)(,)FxYFxYNYY则存在00h,使初值问题(3。4）的解在00xxh上存在且唯一，其中0min(,),bhaM(,)max(,)xYRMFxY.定理的证明方法与定理2。2完全类似，也是首先证明（3。4）与积分方...
