三矩阵的基本运算VIP免费

1/7第三节矩阵的基本运算§3.1加和减§3.2矩阵乘法§3.2.1矩阵的普通乘法§3.2.2矩阵的Kronecker乘法§3.3矩阵除法§3.4矩阵乘方§3.5矩阵的超越函数§3.6数组运算§3.6.1数组的加和减§3.6.2数组的乘和除§3.6.3数组乘方§3.7矩阵函数§3.7.1三角分解§3.7.2正交变换§3.7.3奇异值分解§3.7.4特征值分解§3.7.5秩§3.1加和减如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如：A=B=123147456258780360C=A+B返回：C=26106101410140如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如：x=-1y=x-1=-20-121§3.2矩阵乘法Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍．2/7§3.2.1矩阵的普通乘法矩阵乘法用“*”符号表示，当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同．如：A=[12;34];B=[56;78];C=A*B，结果为C=×==即Matlab返回：C=19224350如果A或B是标量，则A*B返回标量A（或B）乘上矩阵B（或A）的每一个元素所得的矩阵．§3.2.2矩阵的Kronecker乘法对n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B，A和B的Kronecher乘法运算可定义为：由上面的式子可以看出，Kronecker乘积AB表示矩阵A的所有元素与B之间的乘积组合而成的较大的矩阵，BA则完全类似．AB和BA均为np×mq矩阵，但一般情况下ABBA．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker乘法的Matlab命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A和B：A=B=则由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘积C：A=[12;34];B=[132;246];C=kron(A,B)C=132264246481239641286121881624作为比较，可以计算B和A的Kronecker乘积D，可以看出C、D是不同的：A=[12;34];B=[132;246];D=kron(B,A)D=123624349126824486126812161824§3.3矩阵除法在Matlab中有两种矩阵除法符号：“＼”即左除和“／”即右除．如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B是A的逆矩阵乘B，即inv(A)*B；而B/A是B乘A的逆矩阵，即B*inv(A)．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算．通常：43218765846374538261725150432219BaBaBaBaBaBaBaBaBaBACnmnnmm.........21222211121112341322463/7x=A\B就是A*x=B的解；x=B/A就是x*A=B的解.当B与A矩阵行数相等可进行左除．如果A是方阵，用高斯消元法分解因数．解方程：A*x(:,j)=B(:,j)，式中的(:,j)表示B矩阵的第j列，返回的结果x具有与B矩阵相同的阶数，如果A是奇异矩阵将给出警告信息．如果A矩阵不是方阵，可由以列为基准的Householder正交分解法分解，这种分解法可以解决在最小二乘法中的欠定方程或超定方程，结果是m×n的x矩阵．m是A矩阵的列数，n是B矩阵的列数．每个矩阵的列向量最多有k个非零元素，k是A的有效秩．右除B/A可由B/A=(A'\B')'左除来实现．§3.4矩阵乘方A^P意思是A的P次方．如果A是一个方阵，P是一个大于1的整数，则A^P表示A的P次幂，即A自乘P次．如果P不是整数，计算涉及到特征值和特征向量的问题，如已经求得：[V,D]=eig(A)，则：A^P=V*D.^P/V（注：这里的.^表示数组乘方，或点乘方，参见后面的有关介绍）如果B是方阵，a是标量，a^B就是一个按特征值与特征向量的升幂排列的B次方程阵．如果a和B都是矩阵，则a^B是错误的．§3.5矩阵的超越函数在Matlab中解释exp(A)和sqrt(A)时曾涉及到级数运算，此运算定义在A的单个元素上．Matlab可以计算矩阵的超越函数，如矩阵指数、矩阵对数等．一个超越函数可以作为矩阵函数来解释，例如将“m”加在函数名的后边而成expm(A)和sqrtm(A)，当Matlab运行时，有下列三种函数定义：expm矩阵指数logm矩阵对数sqrtm矩阵开方所列各项可以加在多种m文件中或使用funm．请见应用库中sqrtm.m，1ogm.m，funm.m文件和命令手册．§3.6数组运算数组运算由线性代数的矩阵运算符“*”、“/”、“”、“^”前加一点来表示，即为“.*”、“./”、“”、“.^”．注意没有“.+”、“.-”运算．§3.6.1数组的加和减对于数组的加和减运算与矩阵运算相同，所以“+”、“-”既可被矩阵接受又可被数组接受．§3.6.2...