专题2：三角应用题探究1：以三角函数的图象为载体的三角应用题1、如图，摩天轮的半径为50m，点O距地面的高度为60m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85m?（3）求证：不论t为何值，)2()1()(tftftf是定值.【解】设点P离地面的距离为y，则可令y＝Asin(ωt＋φ)＋b.由题设可知A＝50，b＝60.又T＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y＝50sin(2π3t＋φ)＋60.再由题设知t＝0时y＝10，代入y＝50sin(2π3t＋φ)＋60，得sinφ＝－1，从而φ＝－π2.因此，y＝60－50cos2π3t(t≥0).（2）要使点P距离地面超过85m，则有y＝60－50cos2π3t＞85，即cos2π3t＜－12.于是由三角函数基本性质推得2π3＜2π3t＜4π3，即1＜t＜2.所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85m的时间有1分钟.2、如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM＝60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记AOP＝，∈(0，π)．（1）当＝23时，求点P距地面的高度PQ；（2）试确定的值，使得MPN取得最大值．（第17题图）AMNBOPQ17．解：（1）由题意，得PQ＝50－50cos．从而，当＝23时，PQ＝50－50cos23＝75．即点P距地面的高度为75m．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）（方法一）由题意，得AQ＝50sin，从而MQ＝60－50sin，NQ＝300－50sin．又PQ＝50－50cos，所以tanNPQ＝NQPQ＝6－sin1－cos，tanMPQ＝MQPQ＝6－5sin5－5cos．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分从而tanMPN＝tan(NPQ－MPQ)＝tanNPQ－tanMPQ1＋tanNPQtanMPQ＝6－sin1－cos－6－5sin5－5cos1＋6－sin1－cos×6－5sin5－5cos＝12(1－cos)23－18sin－5cos．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分令g()＝12(1－cos)23－18sin－5cos，∈(0，π)，则g()＝12×18(sin＋cos－1)(23－18sin－5cos)2，∈(0，π)．由g()＝0，得sin＋cos－1＝0，解得＝2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分当∈(0，2)时，g()＞0，g()为增函数；当∈(2，)时，g()＜0，g()为减函数，所以，当＝2时，g()有极大值，也为最大值．因为0＜MPQ＜NPQ＜2，所以0＜MPN＜2，从而当g()＝tanMPN取得最大值时，MPN取得最大值．即当＝2时，MPN取得最大值．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分（方法二）以点A为坐标原点，AM为x轴建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋(y－50)2＝502，即x2＋y2－100y＝0，点M(60，0)，N(300，0)．设点P的坐标为(x0，y0)，所以Q(x0，0)，且x02＋y02－100y0＝0．从而tanNPQ＝NQPQ＝300－x0y0，tanMPQ＝MQPQ＝60－x0y0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分从而tanMPN＝tan(NPQ－MPQ)＝tanNPQ－tanMPQ1＋tanNPQtanMPQ＝300－x0y0－60－x0y01＋300－x0y0×60－x0y0＝24y010y0－36x0＋1800．由题意知，x0＝50sin，y0＝50－50cos，所以tanMPN＝＝12(1－cos)23－18sin－5cos．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分探究2：以解三角形为载体的三角应用题3、某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4千米，BC=6千米，CD=2千米，（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．17．解：(1)180ABCADC，由余弦定理得：2222246246cos42224cosACABCADC∴1cos2ABC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 (0,)ABC∴60ABC，120ADCS四边形ABCD=1146sin6024sin1208322（平方千米）⋯⋯5分2222cos28ACABBCABBCABC∴27AC由正弦定理得：274212sin332ACRB（千米）2213R（千米）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分(2)S四边形APCD=ADCAPCSS，又1sin120232ADCSADCD⋯⋯⋯⋯9分ABCDPO设AP=x，CP=y，则13sin6024APCSxyxy⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分由余弦定理得：2220222cos6028ACxyxyxyxy222xyxyxyxyxy∴28xy，当且仅当x=y时取“＝”⋯⋯⋯...
