三重积分的计算方法与例题VIP专享VIP免费

三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分21),,(zzdzzyxf，再做二重积分DdyxF),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。ddzzyxfdvzyxfDzz21]),,([),,(如果先做二重积分zDdzyxf),,(再做定积分21)(ccdzzF，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面21czcz与之间，即],[21ccz，过z作平行于xoy面的平面截，截面zD。区域zD的边界曲面都是z的函数。计算区域zD上的二重积分zDdzyxf),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分21)(ccdzzF，完成“后一”这一步。dzdzyxfdvzyxfccDz]),,([),,(21当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且zD的面积)(z容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)（1）D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2）D是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyfyxf时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222zyxf时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：zD是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对zD积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算zDS。因而中只要],[baz,且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或)(22yxzf时，可考虑用柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1：计算三重积分zdxdydzI，其中为平面1zyx与三个坐标面0,0,0zyx围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D.2.“穿线”yxz10X型D：xyx1010∴：yxzxyx1010103.计算解2“截面法”1.画出。2.]1,0[z过点z作垂直于z轴的平面截得zD。zD是两直角边为x,y的直角三角形，zyzx1,13.计算101010][][zzzDDDdzzSdzdxdyzdzzdxdyzdxdydzI补例2：计算dvyx22，其中是222zyx和z=1围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D.由1222zyxz消去z，得122yx即D：122yx2.“穿线”122zyx，X型D：221111xyxx∴11111:2222zyxxyxx3.计算xxyxxxdyyxyxdxdzyxdydxdvyx11111112222221122222226)1(注：可用柱坐标计算。解2“截面法”1.画出。2.]1,0[z过点z作垂直于z轴的平面截得zD：222zyxzD：zr020用柱坐标计算10020:zzr3.计算1010200101030322222632]31[2][][zDzzdzzdzrdzdrrddzdxdyyxdvyx补例3：化三重积分dxdydzzyxfI),,(为三次积分，其中：222x2z2及yxz所围成的闭区域。解：1.画出及在xoy面上的投影域D.由22222xzyxz消去z，得122yx即D：122yx2.“穿线”22222xzyxX型D：221111xyxx：22222221111xzyxxyxx3．计算11112222222),,(),,(xxxyxdzzyxfdydxdxdydzzyxfI注：当),,(zyxf为已知的解析式时可用柱坐标计算。补例4：计算zdv，其中为22226yxzyxz及所围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D，用柱坐标计算由zzryrxsincos化的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r2.解262rrzrz得∴D：2r即2020r“穿线”26rzr∴262020:rzrr3．计算Drrrrrrdrzrzdzrdrdrdrdzdzzdv2226202062062]21[2][205220222392)1336(])6[(drrrrdrrrr。解2“截面法”1.画出。如图：由rzrz及26围成。2.]6,2[]2,0[]6,0[z211由z=r与z=2围成；]2,0[z，zD：zr1：20020zzr2由z=2与z=26r围成；]6,2[z，zD：zr62：626020zzr3.计算zdv=20621212][][zzDDdzrdrdzdzrdrdzzdvzdv2062236222026220392)6(])6([)]([21dzzzdzzdz...