百度文库-让每个人平等地提升自我1上海大学2000年度研究生入学考试试题数学分析1、设122(1)nnxxnxynn，若limnnxa，证明：（1）当a为有限数时，lim2nnay；（2）当a时，limnny.2、设()fx在0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0ff，且0,1min()1fx证明：0,1max()8fx3、证明：黎曼函数1,x=(0,,)()0,10,pqpqqqRx当为互质整数在上可积当x为无理数.4、证明：12210()lim(0),ttfxdxftx其中()fx在1,1上连续.5、设1ln11nnpan，讨论级数2nna的收敛性.6、设0()fxdx收敛且()fx在0,上单调，证明：001lim()()hnhfnhfxdx.7、计算曲面2222xyza包含在曲面22221(0)xybaab内的那部分的面积.8、将函数()fxx在0,2上展成Fourier级数,并计算级数1sinkkk的值.上海大学2001年度研究生入学考试试题数学分析1、计算下列极限、导数和积分:(1)计算极限10lim();xxx(2)计算20()()xxftdt的导数()x,其中()fx2,(1).1,(1)tttt(3)已知211arctan2tan1sin2xx,求积分2011sinIdxx.百度文库-让每个人平等地提升自我2(4)计算22222()0xyztftxyzdxdydzt的导数()ft(只需写出()ft的积分表达式).2、设()fx在,ab上连续，在,ab上可导，若()()0fafb且()02abf，试证明必存在,ab使得()0f.3、令,1yFxyyxe(1)、证明:111311,0,,;,0,,.2121221212FxxFxx(2)、证明:对任意的11,1212x,方程,0Fxy在13,22y中存在唯一的解()yx.(3)、计算(0)y和(0)y.4、一致连续和一致收敛性(1)、函数2()fxx在0,1上是一致连续的,对210,试确定0,使得当1201xx,且12xx时有3321210xx.(2)、设2231(),0,1,1,2,,2nnxfxxnnx证明:()nfx在0,1上是内闭一致收敛的,但不是一致收敛的.5、曲线积分、格林公式和原函数.(1)计算第二型曲线积分221,2LxdyydxIxy其中L是逐段光滑的简单闭曲线,原点属于L围成的内部区域,(L)的定向是逆时针方向.(2)设,pxy,,qxy除原点外是连续的,且有连续的偏导数,若
,,0,0pqxyyx0,Lpdyqdxc其中(L)的参数方程cos,(02)sinxttyt证明：存在连续可微函数,,,0,0Fxyxy，使得2222,,,22FcyFcxpxyqxyxxyyxy.百度文库-让每个人平等地提升自我3上海大学2002年度研究生入学考试题数学分析1、求和使得当x时，无穷小量112xxx等价于无穷小量x.2、求椭圆2221AxBxyCy所围成的面积S,其中20,0,,,AACBABC均为常数.3、试给出三角级数01(cossin)2nnnaanxbnx中系数的计算公式(不必求出具体值),使得该级数在0,1上一致收敛到2x,并说明理论依据。4、证明：sin()xexxfxxx当时，当时函数在，上一致连续5、设()fx在0,1上有连续的导函数()fx，(0)0f，证明：1122001()()2fxdxfxdx.6、证明:当xy1,1时,有不等式22222()2.xyyx7、设()fx在,ab上连续,并且一对一,(即当12,,,xxab且12xx时有12()()fxfx),证明:()fx在,ab上严格单调.上海大学2003年度研究生入学考试题数学分析1、证明与计算：（1）对于任意的0a，证明：limnna存在，并求之.（2）设111,0,1,2,...,nnakxknn,证明:limnnx存在并求之.2、判断下列结论是否正确,正确的请证明,错误的请举出反例.（3）存在级数1nnu,使得当n时,nu不趋于0,但1nnu收敛.（4）20sinxdx是收敛的.(5)211limsin0xxenxdx(此题只需指明理论依据)3、计算(6)32222,()Sxdydzydzdxzdxdyxyz其中S为曲面:221,0zxyz的上侧.(7)将把()fxx在,上展成Fourier级数,并由此计算211nkk.百度文库-让每个人平等地提升自我44、证明:(8)设函数(,),fxyxy证明:它在0,0上连续且有偏导数0,0,0,0,xyff但是(,)fxy在0,0不可微.(9)设函数()fx在0,1上黎曼可积,证明:2()fx在0,1上也是黎曼可积.(10)当0x时,证明:1ln11xx.(11)设()fx在0,a上连续,其中0a,证明:001(0)()()aaffxdxfxdxa(12)设函数,,Fuvw有连续的偏导数,证明:曲面,,0yzxFxyz上各点的切平面都交于一点,并求出交点坐标(13)设闭曲线L:2221AxBxyCy,其中20,0,,,AACBABC均为常数.记11,xy和22,xy分别表示曲线的最高点和最低点,证明:120yy.(14)如果函数列(),1,2,...,nfxn在0,1上一致收敛,证明:()nfx在0,1上一致有界,即:存在0,M使得(),nfxM对0,1,xn成立.(此题好象缺少条件)进一步问,如果函数列在0,1上点点收敛,结论是否成立,请证明你的结论.(15)设函数()fx在[0,)上连续,0()gxdx绝对收敛,证明:200lim()()(0)()nnxfgxdxfgxdxn上海大学2004年...
