1/16第七章第三节(下)t分布和F分布三、t分布定理设)1,0(~NX，)(~2nY，且X与Y相互独立，则随机变量nYXT/的概率密度为212)1()2()21()(nntnnntf，t,(7.5)称T服从自由度为n的t分布，记作)(~ntT.证X的概率密度是2221)(xXexf,Y的概率密度)(yfY由式（7.3）给出，YX,的联合概率密度是)(2122vfeYu,2/16于是,()()/XXxPxPYnYn221()2uYuxvnefvdudv作变量替换：uts，vs，它的雅可比行列式是tvsvtusuJ210tsss，于是dtdsesnxnYXpsnxttnn0)1(212122)2(221)/(211(1)2201()22()2xnntsdtsedsn21(1)2()2xnntzodtzedzn，由于3/160212)1(21)1()21(2nztntndzez，所以xndununnnxnYXP212)1(1)2()21(}/{上式两边对x求导,即得式(7.5).212)1()2()21()(nnntnnntf212)1(nnntC,21221222])1[()1(limlimnnttnnnnntnt22te,dtntCdttfnnn212)1()(1,dtntCnnn212)1(1lim4/16dtntCnnnn212)1(limlimdteCtnn22lim2limnnC,21limnnC,)(limtfnn212)1(limnnnntC2221te.图7－2给出了当n=1,4,10时的t(n)分布的密度函数曲线,它的图形关于t=0对称,且当n时,有2221)(limtnnetf,故当n很大时,t分布近似于N(0,1).然而对于比较小的n的值,t分布与正态分布之间有较大的差异.dttfxTPxFx)(}{)(,0)()(xfxF,5/16)(xF严格单增,)1,0(),(:F是一一对应,对给定10:,存在唯一)(nt,使得))((ntF,即对于给定的10:,可查t分布表(见附录三)求出)(nt,满足))((ntF)()()}({ntdttfntTP,的点)(nt称为t分布的(下侧)分位点.t分布的分位点的性质:由)(tf的对称性,即)(tf是偶函数,可得,1)()(xFxF21)0(F,(1))()(1ntnt,1)}({1ntTP,)}({1ntTP(2)数12()tn,满足21)}({21ntTP,6/16则12{||()}1PTtn；)}(|{|21ntTP,称)(2/1nt为双侧分位点.当n>45时,t分布表中没有列出,此时可查标准正态分布表,得z，且有znt)(.例5设1232,,,XXX为来自于正态总体)4,(2N的样本，令32172161)()(jjiiXXY，求Y的分布.解由题设条件，得1621()~(0,164)iiXN，1616111()16()1616iiiiXXU，其中1611()~(0,1)16iiUXN，3232221717()16()164jjjjXXV,7/16其中322217()~(16)4jjXV，显然U与V相互独立，由t分布的定义知，16132217()16~(16)1616()iijjXUUtVVX,于是Y服从自由度16的t分布.定理四设nXXX,,,21相互独立，且都服从2(,)N，则有)1(~)(ntSnXnSX.证因为)/,(~2nNX,所以~(0,1)XUNn,8/16XXUnnn，又222(1)~(1)nVSn,22222(1)(1)(1)nSSVnn，显然U与V相互独立，于是2~(1)(1)(1)UXUnntnSVVnnn.定理五设X1，X2，⋯，Xm和Y1，Y2，⋯，Yn分别是从正态总体N（21,）和N（22,）中所抽取的独立样本，则nmnmmnSnSmYXT)2()1()1()()(222121)2(~nmt,(7.7)证因为),,(~21mNX,),(~22nNY9/16所以),(~2221nmNYX,于是)1,0(~11)()(21NnmYXU由定理三知),1(~)1(2212mSm)1(~)1(2222nSn且它们相互独立.由定理二可知)2(~)1()1(2222212nmSnSmV又由定理三知VU,独立，于是按t分布的定义得122212()()(2)(1)(1)XYmnmnmnmSnS~(2)/(2)UtmnVmn.10/16例6设总体),(~21NX，),(~22NY，X与Y相互独立，X1，X2，⋯，Xn;Y1，Y2，⋯，Ym分别是来自X和Y的样本，X，Y分别是两个样本的样本均值，niinXXS1221)1/()(，试求下面统计量的分布：mnSYXT/1/1)(121.解由正态总体样本函数的分布知，)/,(~),/,(~2221mNYnNX，因而)//,(~2221mnNYX，经标准化得到)1,0(~/1/1)(21NmnYX又由定理三知)1(~)1(2221nSn，再由t分布定义知记住结论11/16)1(~)1()1(//1/1)(22121ntnSnmnYX，即)1(~/1/1)(121ntmnSYX.四、F分布定理设),(~12nX)(~22nY，且X与Y相互独立，则随机变量21//nYnXF的概率密度为0,00,)1())(()2()2(]2/)[()(2211221212121211uuunnunnnnnnnnufnnn我们称F服从自由度为12(,)nn的F分布，记作12~(,)FFnn.证明略)(uf的图形入图7-3所示.对于给定的：01,查F分布表（见附录五）可得分位点),(21nnF，使得),(2121)()},({nnFduufnnFFP，且不难验证下式成立：12/16),(1),(12211nnFnnF，利用上式，可以求出F分布表中没有列出的其他数值.例7设X1，X2，⋯，X18为正态总体),1(2N的样本，若18131212295.0})1()1({jiijXaXP，已知4)6,12(95.0F，即95.0}4)6,12({FP，求常数a的值.解由18131212295.0})1()1({jiijXaXP,得95.0}21)1(2)1({181321212aXXPjjii因为)6,12(~)1(61)1(121)1(2)1(18132121218...
