第十八章平行四边形平行四边形与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，宏伟的建筑物、开关自如的栅栏门、别具一格的窗棂⋯⋯现实世界中很多物体都有平行四边形的形象。为什么平行四边形形状的物体到处可见呢？这与平行四边形的性质有关。前面我们学习了许多图形与几何的知识，掌握了一些探索和证明图形几何性质的方法。本章我们将进一步学习平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，并在理解它们之间关系的基础上，利用已有的几何知识和方法，探索并证明它们的性质定理和判定定理；进一步体会研究图形几何性质的思路和方法，即通过观察、类比、特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，再通过逻辑推理证明它们。平行四边形是常见的图形．小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等（图），都有平行四边形的形象．你还能举出一些例子吗？平行四边形的性质由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行．除此之外，平行四边形还有什么性质呢？通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．下面我们对它进行证明．距离是几何中的重要度量之一．前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距我们知道，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（parallelogram）．平行四边形用“Y”表示，如图，平行四边形ABCD记作“ABCDY”．探究根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？上述猜想涉及线段相等、角相等．我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法．为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明．证明：如图，连接AC.//ADBCQ，//ABCD，12，34.又AC是ABC和CDA的公共边，ABCCDA．ADCB，ABCD，BD．请同学们自己证明BADDCB．这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．例1如图，在平行四边形ABCD中，DEAB，BFCD，垂足分别为E，F．求证AECF．证明：Q四边形ABCD是平行四边形，AC，ADCB，又90AEDCFBo，ADECBF．不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？已知平行四边形的一个内角的度数，你能确定其他内角得到度数吗？离．在此基础上，我们结合平行四边形的性质与概念，介绍两条平行线之间的距离．如图，//ab，//cd，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABCD是平行四边形，ABCD．也就是说，两条平行线之间的任何平行线段都相等．从上面的结论我们可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线上的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线上的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图，//ab，A是a上的任意一点，ABb，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离．上面我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质，下面我们研究平行四边形对角线的性质．我们猜想，在平行四边形ABCD中，OAOC，OBOD．练习1．在平行四边形ABCD中，(1)已知5AB，3BC，求它的周长；(2)已知38Ao，求其余各内角的度数．2．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉后叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？探究如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于O点，OA与OC，OB与OD有什么关系？你能证明你发现的结论吗？两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系和区别？与证明平行四边形的对边相等，对角相等的方法类似，我们也可以通过三角形全等证明这个猜想．请你结合图完成证明．由此我们又得到平行四边形的一个性质:平行四边形的对角线互相平分．例2如图，在平行四边形ABCD中，10AB，8AD，ACBC，求BC，CD，AC，OA的长，以及平行四边形ABCD的面积．解：Q四边形ABCD是平行四边形，8BCAD，10CDAB．ACBCQ，ABC是直角三角形．根据勾股定理，22ACABBC221086．又OAOC，132OAAC，ABCDSBCACY8648．练习1．如图，在平行四边形ABCD...
