与三角形有关的角讲义VIP免费

一、知识重点1．三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.(3)理解与延伸：因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．(4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数．【例1】填空：(1)在△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°.2．直角三角形的性质与判定(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()．A．43°B．47°C．30°D．60°(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．【例2－2】如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形．3．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD就是△ABC其中的一个外角．(2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．【例3】在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.4.三角形外角性质(1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)．注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等．【例4】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.5．三角形外角和(1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和．(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.【例5】如图所示．用两种方法说明∠1＋∠2＋∠3＝360°.综合应用【例6－1】在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝__________°.【例6－2】已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，则∠B＝__________，∠C＝__________.【例6－3】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2，那么△ABC是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形【例6－4】锐角三角形的三个内角是∠A，∠B，∠C.如果∠α＝∠A＋∠B，∠β＝∠B＋∠C，∠γ＝∠C＋∠A，那么∠α，∠β，∠γ这三个角中()．A．没有锐角B．有1个锐角C．有2个锐角D．有3个锐角【例7】填空：(1)如图(1)，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝________°.(2)如图(2)所示，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝__________°，∠ABC＝__________°.(3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.【例8－1】如图(1)，将一等边三角形剪去一个角后，∠1＋∠2等于()．A．120°B．240°C．300°D．360°【例8－2】如图，a∥b，则下列式子中值为180°的是()．A．∠α＋∠β－∠γB．∠α＋∠β＋∠γC．∠β＋∠γ－∠αD．∠α－∠β＋∠γ2.运用三角形内角和定理判断三角形形状【例9－1】一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是()．A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【例9...