专题——定积分与其应用VIP专享VIP免费

1专题——定积分及其应用5.1定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.5.1.1实例分析1.曲边梯形的面积在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线0,,ybxax及曲线)(xfy所围成的图形，如图5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形.现在求0)(xf时，在连续区间],[ba上围成的曲边梯形的面积A（如图aoxaobxyaobxbyy(a)(b)(c)图5.125.1(a),(b)所示），用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：(1)分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形在区间],[ba内任意插入1n个分点：bxxxxxann1210，把区间],[ba分成n个小区间：],[,],[],,[],,[1,12110nniixxxxxxxx，第i个小区间的长度为),,1(1nixxxiii，过每个分点作垂直于x轴的直线段，它们把曲边梯形分成n个小曲边梯形（图5.2），小曲边梯形的面积记为),2,1(niAi.(2)近似——用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积在小区间],[1iixx上任取一点),,2,1(nii，作以],[1iixx为底，)(if为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则),,2,1()(nixfAiii.(3)求和——求n个小矩形面积之和210xxxaoiixx1bxxnn1xiy图5.23n个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和A，即nAAAA21nnxfxfxf)()()(2211iniixf)(1.(4)取极限令inix1max，当分点n无限增多且0时，和式iniixf)(1的极限便是曲边梯形的面积A，即iniixfA)(lim10.2．变速直线运动的路程设一物体作变速直线运动，其速度是时间t的连续函数)(tvv，求物体在时刻1Tt到2Tt间所经过的路程S.我们知道，匀速直线运动的路程公式是：vtS，现设物体运动的速度v是随时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：(1)分割——把整个运动时间分成n个时间段在时间间隔],[21TT内任意插入1n个分点：21101TttttTnn，把],[21TT分成n个小区间：],[,],[],,[],,[1,12110nniitttttttt，第i个小区间的长度为),,2,1(1nitttiii第i个时间段内对应的路程记作),2,1(niSi.(2)近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程在小区间],[1iitt上任取一点),2,1(nii,用速度)(iv近似代替物体在时间],[1iitt上各个时刻的速度，则有),,2,1()(nitvSiii.4(3)求和——求n个小时间段路程之和将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即nSSSS21nitvtvtv)()()(2211iniitv)(1.(4)取极限令init1max，当分点的个数n无限增多且0时，和式iniitv)(1的极限便是所求的路程S.即iniitvS)(lim10从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是相同的，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.5.1.2定积分的概念定义5.1设函数)(xf在区间],[ba上有定义，任取分点bxxxxxann1210把区间],[ba任意分割成n个小区间],[1iixx，第i个小区间的长度为),,1(1nixxxiii，记inix1max.在每个小区间],[1iixx上任取一点),,2,1(nii作和式iniixf)(1，当0时，若极限iniixf)(lim10存在（这5个极限值与区间],[ba的分法及点i的取法无关），则称函数)(xf在],[ba上可积，并称这个极限为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记作badxxf)(，即badxxf)(iniixf)(lim10.其中，“)(xf”称为被积函数，“dxxf)(”称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，],[ba称为积分区间.根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为：①曲边梯形的面积A是曲线)(xfy在区间],[ba上的定积分.badxxfA)((0)(xf).②变速直线运动的物体所走过的路程S等于速度函数)(tvv在时间间隔],[21TT上的定积分.21)(TTdttvS.关于定积分的定义作以下几点说明：⑴闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的.⑵定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数)(xf和积分区间],[ba，而...