专题七解析几何重难小题保分练1．(2019陕西宝鸡二模)设D为椭圆x2＋y25＝1上任意一点，A(0，－2)，B(0，2)，延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为()A．x2＋(y－2)2＝20B．x2＋(y＋2)2＝20C．x2＋(y－2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝51．B解析：由椭圆方程x2＋y25＝1，得a2＝5，b2＝1，∴c＝a2－b2＝2，则A(0，－2)，B(0，2)为椭圆两焦点，∴|DA|＋|DB|＝2a＝25. |PD|＝|BD|，∴|PA|＝|PD|＋|DA|＝|BD|＋|DA|＝25.∴点P的轨迹是以A为圆心，以25为半径的圆，其方程为x2＋(y＋2)2＝20.故选B.2．(2019江西九江一模)若直线l：x－y－1＝0与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，则|AB|＝()A．4B．6C．7D．82．D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程x－y－1＝0，y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6.又直线l：x－y－1＝0经过y2＝4x的焦点(1，0)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选D.3．(2019广东肇庆三模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的右顶点为A，右焦点为F，O是坐标原点，过A且与x轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M，N两点．若四边形OMFN是菱形，则C的离心率为()A．2B.2C.3D.123．A解析：由四边形OMFN是菱形，可得c＝2a，所以e＝2.故选A.4.(2019陕西榆林三模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)交双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线于A，B两点(异于坐标原点O)．若双曲线的离心率为5，△AOB的面积为32，则抛物线的焦点为()A．(2，0)B．(4，0)C．(6，0)D．(8，0)4．B解析：由双曲线的离心率为5，可得ca＝5，可得b＝2a，所以渐近线方程为2x±y＝0.由抛物线y2＝2px与2x±y＝0可得x＝p2，y＝±p.因为△AOB的面积为32，所以12×p2×2p＝32，解得p＝8，所以抛物线的焦点坐标为(4，0)．故选B.5．(2019广东广州仲元中学等七校联合体冲刺)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为e1，e2，则1e21＋1e22＝()A.32B．2C.52D．35．B解析：设A(－c，0)，C(c，0)，B为第一象限内的点，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，双曲线的方程为x2m2－y2n2＝1(m，n＞0)，|AB|＝s，|CB|＝t，可得s＋t＝2a，s－t＝2m，解得s＝a＋m，t＝a－m.在直角三角形ABC中，可得4c2＝s2＋t2＝2a2＋2m2，则a2c2＋m2c2＝2，即1e21＋1e22＝2.故选B.6．(2019湖北黄冈模拟)抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝233|AB|，则∠AFB的最大值为()A.π3B.3π4C.5π6D.2π36．D解析：因为x1＋x2＋4＝233|AB|，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4，所以|AF|＋|BF|＝233|AB|.在△AFB中，由余弦定理得cos∠AFB＝|AF|2＋|BF|2－|AB|22|AF|·|BF|＝（|AF|＋|BF|）2－2|AF|·|BF|－|AB|22|AF|·|BF|＝43|AB|2－|AB|22|AF|·|BF|－1＝13|AB|22|AF|·|BF|－1.又由|AF|＋|BF|＝233|AB|≥2|AF|·|BF|，得|AF|·|BF|≤13|AB|2.所以cos∠AFB≥|AF|·|BF|2|AF|·|BF|－1＝－12，∴∠AFB的最大值为2π3.故选D.7．平面直角坐标系xOy中，已知MN是⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，直线l：x－3y－5＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥π2恒成立，则线段AB长度的最小值是________．7.210＋2解析：因为P为MN的中点，所以CP⊥MN.又因为CM⊥CN，所以三角形CMN为等腰直角三角形，所以CP＝1，即点P在以C为圆心，以1为半径的圆上，点P所在圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.要使得∠APB≥π2恒成立，则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部，而AB在直线l：x－3y－5＝0上，C到直线l：x－3y－5＝0的距离d＝|1－3×2－5|12＋32＝10.所以以AB为直径的圆的半径的最小值为r＝10＋1，所以AB的最小值为2r＝210＋2.8．(2019山西运城一模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且垂于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点．若△PQF2的周长为8，则ab取得最大值时，该双曲线的离心率是________．8.233解析：由△PQF2的周长为8，PQ为三角形ABF2的中位线，可得△ABF2的周长为16,|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝16. |AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，|AB|＝2b2a，∴4b2a＝16－4a，∴b2＝a(4－a)．令y＝a2b2...
