专题五：均值不等式与最值、放缩法基础梳理1．常用的基本不等式和重要的不等式：（1）0,0,2aaRa当且仅当0a取“”号；（2）22,,2abRabab则；（3）,,abcR，则222abcabbcca。2．均值不等式：两个正数的均值不等式：abba2；三个正数的均值不等式：33abccba；n个正数的均值不等式：nnnaaanaaa2121。3．四种均值的关系：（1）两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是：2211222babaabba（2）三个正数abc、、的调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数：2223311133abcabcabcabc小结：“算数平均数几何平均数”的多种表达形式：整式形式根式形式分式形式倒数形式2222,()2abababRabab2(,)abababR2(,baabab同号）2(,baabab异号）12(0)aaa12(0)aaa33333,,()3abcabcabcRabcabc33(,,)abcabcabcR11()()4(,)111()()9(,,)ababRababcabcabcR4.均值不等式求最值：（1）如果,,xyRxyP（定值），由______________，当xy时，xy有____________；如果,,,xyzRxyzP（定值），由______________，当xyz时，xyz有__________；（2）如果,,xyRxyS（定值），由______________，当xy时，xy有____________；如果,,,xyzRxyzS（定值），由______________，当xyz时，xyz有___________。利用均值不等式求最值必须注意：“一正、二定、三相等”。三者缺一不可！能力巩固考点一：均值不等式与最值1.已知,,xyzR，230xyz，则2yxz的最小值______________。2．设0,0,1xyxy，yx最大值是（）A.1B.2C.22D.233.已知0,0ab，且2ab，若222Sabab，则S的最大值为_____________。4.已知,xy都在区间(2,2)内，且1xy，则函数229944yxu的最小值是（）A．58B．1124C．712D．5125.若a是2b与2b的等比中项，则2||||abab的最大值为（）A.2B.1C.42D.226．设M是,23,30,ABCABACBACuuuruuur内一点且定义()(,,),fMmnp其中mnp、、分别是,,MBCMCAMAB的面积，1()(,,),2fMxy若14xy则的最小值是_______________。7．若a,b均为正实数，且abamb恒成立，则m的最小值是______________。变式：（1）若不等式2222baba对任意正实数a、b都成立，则的最大值是（）A．1B．2C．3D．5（2）若对于任意的实数1a且1b，不等式22(2)abtab恒成立，则实数t的最大值是___________。8.设,xy都是整数，且满足yxxy22，则22yx的最大可能值为（）A.32B.25C.18D.169.函数xxxf42的值域为（）A.4,2B.0,25C.4,25D.2,25练习：使关于x的不等式36xxk有解的实数k的最大值是（）A．63B．3C．63D．610．已知,,abcR且8(342)43aabcbc，则32abc的最小值为（）A.32B.22C.23D.43练习：若,,0abc且()423aabcbc，则2abc的最小值为_______________。考点二：放缩法与不等式例1.（1）求证：222211112123n；变式：2222111151233n。（2）222111711(2,)35(21)62(21)nnNnn；（3）111212(11)23nnn；（4）2311115212121213nL；（5）1111223!n！！（其中!(1)(2)321nnnnL）。（6）求证：))))21()nnNL1111(1+(1+(1+(1+1352n-1；（7）证明：当*1,nnN时，11111223421nnnL。例2．设各项为正的数列na满足：111(1)1,1,nnnnnanaaaa令11,ba21222311[nbnaaa⋯211](2).nna(Ⅰ)求;na(Ⅱ)求证：12111(1)(1)(1)4(1).nnbbb⋯例3.在数列{}na中，已知12a，112nnnnaaaa，nN。（1）证明数列1{1}na为等比数列，并求数列{}na的通项公式；（2）求证：1(1)3niiiaa，nN。例4．在数列{}na中，1111,30(2)nnnnaaaaan，设数列nnba，{}nb的前n项和为nT。（1）若0a1nna对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：对任意2n的整数，232...(321)3nbbbn；（3）是否存在实数M，使得对任何的*Nn，MTn恒成立，如果存在求出最小的M，如果不存在请说明理由。例5.已知数列na满足1a=-1，nnanann64)33(1，数列nb满足231nnnab。（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb的前n项和为ns，求证：当2n时，)32(2322nssssnn；（3）求证：当2n时，12154221nbbbnnn。
