1/9第2讲椭圆双曲线抛物线自主学习导引真题感悟1．(2012·江西)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为A.14B.55C.12D.5－2解析利用等比中项性质确定a，c的关系．由题意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，且三者成等比数列，则|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，所以e2＝15，所以e＝55.答案B2．(2012·山东)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为A．x2＝833yB．x2＝1633yC．x2＝8yD．x2＝16y解析根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解． 双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴ca＝a2＋b2a＝2，∴b＝3a，∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点0，p2到双曲线的渐近线的距离为3×0±p22＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.答案D考题分析椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质、方程一直是每年高考必要内容．近几年命2/9题更加注意知识的融合创新，涉及导数、函数、不等式、数列、向量等知识，同时注意思想方法的运用．网络构建高频考点突破考点一：圆锥曲线的定义及应用【例1】(2012·潍坊二模)已知双曲线C：x24－y25＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则PF1→·PF2→等于A．24B．48C．50D．56[审题导引]据已知条件和双曲线的定义可以求出|PF1|与|PF2|的长，在△PF1F2中利用余弦定理可求两向量夹角的余弦值，即得PF1→·PF2→.[规范解答]如图所示，|PF2|＝|F1F2|＝6，由双曲线定义可得，|PF1|＝10.在△PF1F2中，由余弦定理可得，3/9cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝102＋62－622×10×6＝56.∴PF1→·PF2→＝|PF1→||PF2→|cos∠F1PF2＝10×6×56＝50.[答案]C【规律总结】焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形．(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：①椭圆或双曲线的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式．【变式训练】1．已知双曲线x2m－y27＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为A．8B．9C．16D．20解析由双曲线的定义可知，|AF2|－|AF1|＝2m，|BF2|－|BF1|＝2m，所以(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝4m，|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4m，|AF2|＋|BF2|＝4＋4m.又|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝20，即4＋4m＋4＝20.所以m＝9.答案B2．(2012·四川)椭圆x24＋y23＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．4/9解析根据椭圆的定义结合其几何性质求解．直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，|AB|＝2×b2a＝2×32＝3，∴S△FAB＝12×2×3＝3.答案3考点二：圆锥曲线的性质【例2】(2012·咸阳二模)已知椭圆C1：x2m＋2＋y2n＝1与双曲线C2：x2m－y2n＝1共焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为A.22，1B.0，22C．(0,1)D.0，12[审题导引]根据椭圆与双曲线的方程确定其焦点位置，进而求出m、n的范围，可求离心率e的取值范围．[规范解答]由双曲线的方程知，椭圆与双曲线的焦点在x轴，∴m＋2－n＝m＋nm＋2＞0m＞0n＞0m＋2＞n，∴n＝1m＞0.设椭圆C1的离心率为e，∴e2＝1－nm＋2＝1－1m＋2. m＞0，∴e2＞12，e＞22，即离心率的范围是22，1.[答案]A【规律总结】离心率的求法5/9双曲线与椭圆的离心率就是ca的值，有些试题中可以直接求出a、c的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出a、c的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于a、c或a、b的方程，通过这个方程解出ca或ba，利用公式e＝ca求出，对双曲线来说，e＝1＋b2a2，对椭圆来说，e＝1－b2a2.【变式训练】3．(2012·日照模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为A．y＝±3...
