专题：基本不等式常见题型归纳VIP免费

专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．（2）a，b∈R＋，a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．（3）a，b∈R，a2＋b22≤(a＋b2)2，当且仅当a＝b时取等号．上述三个不等关系揭示了a2＋b2，ab，a＋b三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2ab(或ab≤(a＋b2)2)，当且仅当a＝b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞ba且7log3log2abba，则112ba的最小值为.【解析】 1＞＞ba且7log3log2abba∴32log7logaabb，解得1log2ab或log3ab， 1＞＞ba∴1log2ab，即2ab．2111111aaba121131aa．练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为．解析：由log2x+log2y=1可得log2xy=1=log22，则有xy=2，那么==（x－y）+≥2=4，当且仅当（x－y）=，即x=+1，y=－1时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,xy满足133(0)2xyxx，则313xy的最小值为．3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2abc，且2ab，则522acccbabc的最小值为.【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x，y为正实数，则4x4x＋y＋yx＋y的最大值为．解析：由于4x4x＋y＋yx＋y=))(4()4()(4yxyxyxyyxx=22225484yxyxyxyx=1+22543yxyxxy=1+345xyyx≤1+5423xyyx=43，当且仅当4yx=xy，即y=2x时等号成立．【典例3】若正数a、b满足3abab,则ab的最小值为__________.解析：由,abR,得223(),()4()1202ababababab,解得6ab(当且仅当ab且3abab,即3ab时,取等号).变式：1.若,abR,且满足22abab,则ab的最大值为_________.解析：因为,abR,所以由22222()2ababababab,2()ab2()0ab,解得02ab(当且仅当ab且22abab,即1ab时,取等号).2.设0,0yx，822xyyx，则yx2的最小值为_______43.设Ryx,，1422xyyx，则yx2的最大值为_________10524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a，b满足195abab，则ab的最小值为【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数yx,满足1yx，则1124yx的最小值为练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数yx,满足111yx，则1914yyxx的最小值为.解析：对于正数x，y，由于x1+y1=1，则知x>1，y>1，那么14xx+14yy=（14xx+14yy）（1+1－x1－y1）=（14xx+14yy）（xx1+yy1）≥（xxxx114+yyyy114）2=25，当且仅当14xx·yy1=14yy·xx1时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为．解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)xyabb的图像经过点(1,3)P，如下图所示，则411ab的最小值为.解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么14a+b1=21（a－1+b）（14a+b1）=21（4+ba1+14ab+1）≥21（2141abba+5）=29，当且仅当ba1=14ab时等号成立．4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a，b为正数，且直线与直线互相平行，则2a+3b的最小值为________．【解析】由于直线ax+by－6=0与直线2x+（b－3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab，那么2a+3b=（2a+3b）·=（2a+3b）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b时等号成立．5.常数a，b和正变量x，y满足ab＝16，ax＋2by＝12.若x＋2y的最小值为64，则ab＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数,ab满足12122abbbaa，则ab的最大值为．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab，,(0,1)ab，则1211ab的最小值为．解析：由14ab得14ab，2221211424122711411451451abbbbbbbbbbb令71bt则2271494942111418451427183427btbbtttt当且仅当322t即32214等号成立．练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是．解析：由x2＋2xy－1＝0可得y=212xx，那么x...