专题：直线参数方程中t的意义理解高中数学精华VIP专享VIP免费

专题:直线参数方程中的几何意义几点分析与解析一．知识点概述：★若倾斜角为α的直线过点)(00yxM，，t为参数，则该直线的参数方程可写为★若直线过点M，直线与圆锥曲线交于两点P、Q，则|MP|、|MQ|的几何意义就是：||||||||21tMQtMP，；|MP|+|MQ|的几何意义就是：||||MQMP|t||t|21；|MP|·|MQ|的几何意义就是：||||||21ttMQMP；|PQ|的几何意义就是：2122121214)(|||PQ||||PQ|tttttttt，即.★若过点M)(00yx，、倾斜角为α的直线l与圆锥曲线交于A、B两点，则弦的中点坐标公式为：2)sin()sin(22)cos()cos(2201021'201021'tytyyyytxtxxxx或)(22)()(2)(22)()(2212022012021'211021011021'ttpytpytpyyyyttpxtpxtpxxxx，21pp，为常数，均不为零(其中中点M的相应参数为t，而221ttt，所以中点坐标也为：tpyytpxx2010)★若过点M)(00yx，、倾斜角为α的直线l与圆锥曲线交于A、B两点，且M恰为弦AB中点，则中点M的相应参数：221ttt=0（因为tpyytpxx200100，而21pp，均不为0，所以t=0）体会一：教学中一定要讲清楚直线参数方程的推导过程，并且一定要强调其中参数T的由来。实际上由新课程标准人教A版数学选修课本中坐标系与参数方程的内容我们知道，平面内过定点),(000yxp、倾斜角为的直线l的参数方程的标准形式为sincos00tyytxx（t为参数），其中t表示直线l上以定点0p为起点，任意一点P（x，y）为终点的有向线段PP0的数量，当P点在0p上方时t为正，当P点在0p下方时t为负。体会二：教学中必须要强调参数T的几何意义及两个结论的引导应用示范。实际上在教学中我们知道，由直线参数方程的推导过程及向量模的几何意义等知识，很容易得参数t具有如下的两个重要结论：如果我们假设直线l上两点A、B所对应的参数分别为BAtt和，则：第一：A、B两点之间的距离为BABABAttttttAB?4)(||||2，特别地，A、B两点到0p的距离分别为.|||,|BAtt第二：A、B两点的中点所对应的参数为2BAtt，若0p是线段AB的中点，则0BAtt，反之亦然。在解决坐标系与参数方程这一选考题，特别是直线的参数方程与曲线的参数方程或是极坐标方程有关的内容的题目，最典型的是涉及直线与圆锥曲线相交所得的弦和弦长、或是求一点到某点的距离为定值、求弦的中点等有关方面的题目时，如果我们能够充分利用参数t的上述两个重要结论的话，我们的解题速度和解题正确率、得分率将得到的大大提高，我们的解题水准也必将得到巨大的提升。1、例如在求解与距离有关的题目时我们可以用结论一：例1、直线l过点)0,4(0P，倾斜角为6，且与曲线C：7相交于A、B两点。（1）求弦长AB.（2）求AP0和BP0的长（3）AP0?BP0解：（1）因为直线l过点)0,4(0P，倾斜角为6，所以直线l的参数方程为6sin06cos4tytx，即tytx21234，（t为参数），而曲线C是圆722yx，于是将直线的参数方程代入圆C的方程，得7)21()234(22tt，整理得09342tt有参数T的几何意义设A、B所对应的参数分别为21,tt，则3421tt，921tt，所以||||21ttAB.324)(21221tttt（2）解：由第一问解方程09342tt得，3,3321tt，有参数的几何意义同理可得AP033||1t，BP0.3||2t（3）由于是由第一问的求解过程可知AP0BP0=921tt2、再如在求解与点的坐标有关的题目时可以用结论二：例2、已知直线l过点)8,4(0P，倾斜角为3，求出直线l上到点0P的距离为5的点的坐标。解：因为直线l过点)8,4(0P，倾斜角为3，所以直线l的参数方程为3sin83cos4tytx，即tytx238214，（t为参数），（1）设直线l上与已知点)8,4(0P相距为5的点为P点，且P点对应的参数为t，则||0PP5||t，所以5t，将t的值代入（1）式，当t＝5时，M点的坐标为)2358,213(；当t＝－5时，M点的坐标为)2358,23(，综上，所求P点的坐标为)2358,213(或)2358,23(.点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求P点的坐标需要将直线方程代入曲线方程，消元后再用根与系数的关系，中点坐标公式来求解，相当麻烦，而我们使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求P点的坐标就显得比较容易。3、解决有关弦的中点问题时也可以用性质二例3、过点)0,1(0P，倾斜角为4的直线l和曲线线22tytx相交于M、N两点，求线段MN的中点P的坐标。解：直线l过点)0,1(0P，倾斜角为4，所以直线l的参数...