两个重要极限试题2————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：严谨规范求真铸魂1-7两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xxxsinlim0问题1：观察当x0时函数的变化趋势：x(弧度)0.500.100.050.040.030.02...xxsin0.95850.99830.99960.99970.99980.9999...当x取正值趋近于0时，xxsin1，即0limxxxsin=1；当x取负值趋近于0时，-x0,-x>0,sin(-x)>0．于是)()sin(limsinlim00xxxxxx．综上所述，得一．1sinlim0xxx．1sinlim0xxx的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是00；(2)在分式中同时出现三角函数和x的幂．推广如果axlim(x)=0,(a可以是有限数x0,或)，则axlimxxsin=xxxsinlim0=1．例1求xxxtanlim0．解xxxtanlim0=111cos1limsinlimcos1sinlimcossinlim0000xxxxxxxxxxxxx．例2求xxx3sinlim0．解xxx3sinlim0=3sinlim3)3(33sin3lim00tttxxxtx令．例3求20cos1limxxx．解20cos1limxxx=2122sin22sin21lim)2(22sinlim2sin2lim0220220xxxxxxxxxxx．例4求xxxarcsinlim0．严谨规范求真铸魂解令arcsinx=t，则x=sint且x0时t0．所以xxxarcsinlim0=1sinlim0ttt．例5求30sintanlimxxxx．解30sintanlimxxxx=3030coscos1sinlimsincossinlimxxxxxxxxxx=21cos1limcos1limsinlim2000xxxxxxxx．考察极限exxx)11(lim问题2：观察当x+时函数的变化趋势：x1210100010000100000100000...xx)11(22.252.5942.7172.71812.71822.71828...当x取正值并无限增大时，xx)11(是逐渐增大的，但是不论x如何大，xx)11(的值总不会超过3．实际上如果继续增大x．即当x+时，可以验证xx)11(是趋近于一个确定的无理数e＝2.718281828...．当x-时，函数xx)11(有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e．综上所述，得二．xxx)11(lim=e．xxx)11(lim=e的特点：（１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广（１）若axlim(x)=,(a可以是有限数x0,或)，则)()()(11lim))(11(limxxxaxxx=e；（２）若axlim(x)=0,(a可以是有限数x0,或)，则)(10)(11lim1limxxxaxxx=e．变形令x1=t，则x时t0，代入后得到ettt101lim．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1，因此通常称之为1不定型．严谨规范求真铸魂例6求xxx)21(lim．解令－x2=t，则x=－t2．当x时t0，于是xxx)21(lim=21020])1(lim[)1(limtttttt=e–2．例7求xxxx)23(lim．解令xx23=1+u，则x=2－u1．当x时u0，于是xxxx)23(lim=])1()1[(lim)1(lim210120uuuuuuu=])1(lim[])1(lim[20110uuuuu=e-1．例8求xxxcot0)tan1(lim．解设t=tanx，则t1＝cotx．当x0时t0，于是xxxcot0)tan1(lim=ttt10)1(lim=e．小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。作业：见首页严谨规范求真铸魂§2-1导数的概念教学过程：引入：一、两个实例实例1瞬时速度考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻t=0到时刻t这一时间段内下落的路程s由公式s=21gt2来确定．现在来求t=1秒这一时刻质点的速度．当t很小时，从1秒到1+t秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在t=1时速度的近似．t(s)s(m)ts(m/s)0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049上表看出，平均速度ts随着t变化而变化，当t越小时，ts越接近于一个定值—9.8m/s．考察下列各式：s=21g(1+t)2－21g12=21g[2t+(t)2]，ts=21gttt2)(2=21g(2+t)，思考：当t越来越接近于0时，ts越来越接近于1秒时的“速度”．现在取t0的极限，得ts0limtg221lim0g=9.8(m/s)．为质点在t=1秒时速度为瞬时速度．一般地，设质点的位移规律是s=f(t)，在时刻t时时间有改变量t，s相应的改变量为s=f(t+t)-f(t)，在时间段t到t+t内的平均速度为v=ttfttfts，对平均速度取t0的极限，得v(t)=ttfttftstt00limlim，称v(t)为时刻t的瞬时速。研究类似的例子实例2曲线的切线严谨规范求真铸魂设方程为y=f(x)曲线为L．其上一点A的坐标为(x0,f(x0))．在曲线上点A附近另取一点B，它的坐标是(...
