第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)下列各命题中,正确的有()A.√a·a=|a|B.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R)C.a·(b+c)=(b+c)·aD.a2b=b2a解析 a·a=|a|2,故√a·a=|a|,A正确;m(λa)·b=(mλa)·b=mλa·b=(mλ)a·b,故B正确;a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,故C正确;a2b=|a|2b,b2a=|b|2a,|a|2b与|b|2a不一定是相等向量,故D不正确.答案ABC2.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.答案B3.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=()A.1B.2C.3D.4解析由条件知p·q=0,p2=q2=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.答案A4.已知|a|=1,|b|=√2,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为()A.30°B.45°C.135°D.60°解析 a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,∴a·a-a·b=|a|2-|a||b|cos
=1-1×√2×cos=0,∴cos=√22. 0°≤≤180°,∴=45°.答案B5.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(⃗DB+⃗DC-2⃗DA)·(⃗AB−⃗AC)=0,则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析因为⃗DB+⃗DC-2⃗DA=(⃗DB−⃗DA)+(⃗DC−⃗DA)=⃗AB+⃗AC,所以(⃗DB+⃗DC-2⃗DA)·(⃗AB−⃗AC)=(⃗AB+⃗AC)·(⃗AB−⃗AC)=⃗AB2−⃗AC2=0,所以|⃗AB|=|⃗AC|,因此△ABC是等腰三角形.答案B6.(多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是()A.⃗PC与⃗ADB.⃗DA与⃗PBC.⃗PD与⃗ABD.⃗PA与⃗CD解析因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故⃗PA·⃗CD=0;因为AD⊥AB,AD⊥PA,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,故AD⊥PB,则⃗DA·⃗PB=0;同理可得⃗PD·⃗AB=0;而PC与AD所成角为∠PCB,显然不垂直.答案BCD7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则⃗A1B·⃗B1C=.解析⃗A1B·⃗B1C=⃗A1B·⃗A1D=|⃗A1B|·|⃗A1D|·cos<⃗A1B,⃗A1D>=√2a·√2a·cos60°=a2.答案a28.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.解因为⃗PC=⃗PA+⃗AD+⃗DC,所以|⃗PC|2=⃗PC2=(⃗PA+⃗AD+⃗DC)2=|⃗PA|2+|⃗AD|2+|⃗DC|2+2⃗PA·⃗AD+2⃗PA·⃗DC+2⃗AD·⃗DC=62+42+32+2|⃗AD||⃗DC|cos120°=61-12=49,所以|⃗PC|=7,即PC=7.能力提升练1.已知在空间四边形ABCD中,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成的角是()A.30°B.45°C.60°D.90°解析根据已知∠ACD=∠BDC=90°,得⃗AC·⃗CD=⃗DB·⃗CD=0,∴⃗AB·⃗CD=(⃗AC+⃗CD+⃗DB)·⃗CD=⃗AC·⃗CD+|⃗CD|2+⃗DB·⃗CD=|⃗CD|2=1,∴cos<⃗AB,⃗CD>=⃗AB·⃗CD|⃗AB||⃗CD|=12,∴AB与CD所成的角为60°.答案C2.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=e1+e2与b=e1-2e2的夹角是()A.60°B.120°C.30°D.90°解析由题意得a·b=(e1+e2)·(e1-2e2)=e12-e1·e2-2e22=1-1×1×12-2=-32,|a|=√a2=√(e1+e2)2=√e12+2e1·e2+e22=√1+1+1=√3,|b|=√b2=√(e1-2e2)2=√e12-4e1·e2+4e22=√1-2+4=√3.∴cos=a·b|a||b|=-323=-12.∴=120°.答案B3.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题,其中正确的有()A.(⃗AA1+⃗AD+⃗AB)2=3⃗AB2B.⃗A1C·(⃗A1B1−⃗A1A)=0C.⃗AD1与⃗A1B的夹角为60°D.正方体的体积为|⃗AB·⃗AA1·⃗AD|解析如图所示,(⃗AA1+⃗AD+⃗AB)2=(⃗AA1+⃗A1D1+⃗D1C1)2=⃗AC12=3⃗AB2;⃗A1C·(⃗A1B1−⃗A1A)=⃗A1C·⃗AB1=0;⃗AD1与⃗A1B的夹角是⃗D1C与⃗D1A夹角的补角,而⃗D1C与⃗D1A的夹角为60°,故⃗AD1与⃗A1B的夹角为120°;正方体的体积为|⃗AB||⃗AA1||⃗AD|.答案AB4.已知向量a,b,c两两夹角都是60°,且|a|=|b|=|c|=1,则|a-2b+c|=.解析因为|a-2b+c|2=a2+4b2+c2-4a·b-4b·c+2a·c=1+4+1-4×cos60°-4×cos60°+2×cos60°=3,所以|a-2b+c|=√3.答案√35.四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则点B与点D1之间的距离为.解析 四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,∴⃗BD1=⃗BA+⃗AD+⃗DD1,∴⃗B...
