（江苏专用）高考数学总复习 考前三个月 附加题高分练3 曲线与方程、抛物线 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

3．曲线与方程、抛物线1．(2017·江苏南通天星湖中学质检)已知点A(1,2)在抛物线F：y2＝2px上．(1)若△ABC的三个顶点都在抛物线F上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3,求－＋的值；(2)若四边形ABCD的四个顶点都在抛物线F上，记四边AB，BC，CD，DA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k4，求－＋－的值．解(1)由点A(1,2)在抛物线F上，得p＝2，∴抛物线F：y2＝4x，设B，C，∴－＋＝－＋＝－＋＝1.(2)另设D，则－＋－＝－＋－＝0.2．(2017·江苏赣榆中学月考)抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px.∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，得p＝2，故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)．∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB，由A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，得y＝4x1，①y＝4x2，②∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)，∴y1＋y2＝－4，由①－②得直线AB的斜率kAB＝＝＝－＝－1(x1≠x2)．3．(2017·江苏常州中学质检)已知点A(－1,0)，F(1,0)，动点P满足AP·AF＝2.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)在直线l：y＝2x＋2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N.问：是否存在点Q，使得直线MN∥l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)设P(x，y)，则AP＝(x＋1，y)，FP＝(x－1，y)，AF＝(2,0)，由AP·AF＝2|FP|，得2(x＋1)＝2，化简得y2＝4x.故动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.(2)直线l方程为y＝2(x＋1)，设Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．设过点M的切线方程为x－x1＝m(y－y1)，代入y2＝4x，得y2－4my＋4my1－y＝0，由Δ＝16m2－16my1＋4y＝0，得m＝，所以过点M的切线方程为y1y＝2(x＋x1)，同理过点N的切线方程为y2y＝2(x＋x2)．所以直线MN的方程为y0y＝2(x0＋x)，1又MN∥l，所以＝2，得y0＝1，而y0＝2(x0＋1)，故点Q的坐标为.4．(2017·江苏宝应中学质检)如图，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．(1)若TA·TB＝1，求直线l的斜率；(2)求∠ATF的最大值．解(1)因为抛物线y2＝4x焦点为F(1,0)，T(－1,0)．当l⊥x轴时，A(1,2)，B(1，－2)，此时TA·TB＝0，与TA·TB＝1矛盾，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝1，①所以yy＝16x1x2＝16，所以y1y2＝－4，②因为TA·TB＝1，所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝1，将①②代入并整理得，k2＝4，所以k＝±2.(2)因为y1＞0，所以tan∠ATF＝＝＝≤1，当且仅当＝，即y1＝2时，取等号，所以∠ATF≤，所以∠ATF的最大值为.2