课时跟踪检测（十三）椭圆及其标准方程一、基本能力达标1．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是()A．(±3,0)B.C.D.解析：选D椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝，b2＝，所以c2＝a2－b2＝－＝，故c＝.所以该椭圆的焦点坐标为，故选D.2．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为()A．6B．7C．8D．9解析：选B根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7.3．已知椭圆的焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选C F1(－1,0)，F2(1,0)，∴|F1F2|＝2，又 |F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，即2a＝4.又c＝1，∴b2＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P的椭圆的标准方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选A由椭圆定义知：2a＝＋＝＋＝2.∴a＝.∴b＝＝.5．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________．解析：易知k≠0，方程2kx2＋ky2＝1变形为＋＝1，所以－＝16，解得k＝.答案：6．设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是其左、右两焦点，若|PF1|·|PF2|＝8，则|OP|＝________.解析：由题意，|PF1|＋|PF2|＝6，两边平方得|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝36.因为|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝20.以PF1，PF2为邻边做平行四边形，则|OP|正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP|)2＋(2c)2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)．所以4|OP|2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP|＝.答案：7．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程．解：法一：方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1.则焦点是F1(0,2)，F2(0，－2)．设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， M在椭圆上，∴2a＝|MF1|＋|MF2|1＝＋＝(2－)＋(2＋)＝4，∴a＝2，即a2＝12.∴b2＝a2－c2＝12－4＝8.∴椭圆的标准方程为＋＝1.法二：由题意知，焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，则设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，将x＝2，y＝代入，得＋＝1，解得λ＝8，λ＝－2(舍去)．所求椭圆方程为＋＝1.8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．解：(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－a2＝1，即a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，故椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4.又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝，|PF2|＝.又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.故∠F1PF2的余弦值等于.二、综合能力提升1．下列说法中正确的是()A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选CA中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选C.2．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1·PF2＝0，则△F1PF2的面积为()A．9B．12C．10D．8解析：选A PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2.∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝2a.又a＝5，b＝3，∴c＝4，∴2②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|·|PF2|＝18，∴△F1PF2的面积为S＝·|PF1|·|PF2|＝9.3．若α∈，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是()A.B.C.D.解析：选A易知sinα≠0，cosα≠0，方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为＋＝1.因为椭圆的焦点...
