§3解三角形的实际应用举例课后篇巩固探究1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了四种测量方案:(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c)①测量A,C,b②测量a,b,C③测量A,B,a④测量a,b,B则一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④解析:已知三角形的两角及一边,可以确定三角形,故①③正确;已知两边及夹角,可以确定三角形,故②正确;已知两边与其中一边的对角,满足条件的三角形可能有一个或两个,故④错误.故选A.答案:A2.已知某路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20m,则折断点与树干底部的距离是()m.A.20√63B.10√6C.10√63D.20√2解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,所以∠OAB=60°.由正弦定理知,AOsin45°=20sin60°,所以AO=20sin45°sin60°=20√63(m).答案:A3.已知一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过√3h,该船实际航程为()A.2√15kmB.6kmC.2√21kmD.8km解析:如图,因为|⃗OA|=2km/h,|⃗OB|=4km/h,∠AOB=120°,所以∠OAC=60°,|⃗OC|=√22+42-2×2×4cos60°=2√3(km/h).经过√3h,该船的实际航程为2√3×√3=6(km).答案:B4.甲船在B岛的正南方10km处,且甲船以4km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是()A.1507minB.157hC.21.5minD.2.15h解析:如图,设经过xh后甲船处于点P处,乙船处于点Q处,两船的距离为s,则在△BPQ中,BP=(10-4x)km,BQ=6xkm,∠PBQ=120°,由余弦定理可知s2=PQ2=BP2+BQ2-2BP·BQ·cos∠PBQ,即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)·6x·cos120°=28x2-20x+100.当x=--202×28=514时,s最小,此时514h=1507min.答案:A5.已知一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为()A.20(√2+√6)海里/时B.20(√6−√2)海里/时C.20(√6+√3)海里/时D.20(√6−√3)海里/时解析:设货轮航行30分后到达N处,由题意可知∠NMS=45°,∠MNS=105°,则∠MSN=180°-105°-45°=30°.而MS=20海里,在△MNS中,由正弦定理得MNsin30°=MSsin105°,即MN=20sin30°sin105°=10sin(60°+45°)=10sin60°cos45°+cos60°sin45°=10√6+√24=10(√6−√2)(海里).故货轮的速度为10(√6−√2)÷12=20(√6−√2)(海里/时).答案:B6.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行10000m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为()A.2500(√3-1)mB.5000√2mC.4000mD.4000√2m解析:如图,∠BAC=30°,∠DBC=75°,AB=10000m,所以∠ACB=45°.由正弦定理,得10000sin45°=BCsin30°,又cos75°=BDBC,所以BD=10000·sin30°sin45°·cos75°=2500(√3-1)(m).答案:A7.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30km内的地区为危险区,城市B在A的正东40km处,B城市处于危险区内的持续时间为()A.0.5hB.1hC.1.5hD.2h解析:设th后,B市处于危险区内,则由余弦定理得(20t)2+402-2×20t×40cos45°≤302.化简得4t2-8√2t+7≤0,所以t1+t2=2√2,t1·t2=74.从而|t1-t2|=√(t1+t2)2-4t1t2=1.答案:B8.如图,已知海岸线上有相距5nmile的两座灯塔A,B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲位于灯塔A的北偏西75°方向,与A相距3√2nmile的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60°方向,与B相距5nmile的C处,则两艘船之间的距离为nmile.解析:连接AC,BC=AB=5nmile,∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形,所以AC=5nmile,且∠DAC=180°-75°-60°=45°.在△ACD中,由余弦定理得CD2=(3√2)2+52-2×3√2×5×cos45°=13,所以CD=√13nmile.故两艘船之间的距离为√13nmile.答案:√139.如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A的俯角β=45°.已知塔高60m,则山高为.解析:在△ABC中,BC=60m,∠BAC=15°,∠ABC=30°,由正弦定理,得AC=60sin30...
