专题4.6正余弦定理一、填空题1．在△ABC中，若＝3，b2－a2＝ac，则cosB的值为【解析】由题意知，c＝3a，b2－a2＝ac＝c2－2accosB，所以cosB＝＝＝.2．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋a2＝(b＋c)2，则cosA等于3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是【解析】由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．4．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于【解析】由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝＝B，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsinA＝×1×1×＝.5．(2017·渭南模拟)在△ABC中，若a2－b2＝bc且＝2，则A＝【解析】因为＝2，故＝2，即c＝2b，则cosA＝＝＝＝，所以A＝.6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝【解析】根据正弦定理＝＝＝2R，得＝＝，即a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝＝，故B＝.7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，则b＝________.【答案】【解析】因为cosA＝，所以sinA＝＝＝，所以sinC＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝cos45°＋sin45°＝.由正弦定理＝，得b＝×sin45°＝.8．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为________．【答案】2【解析】由面积公式，得S＝bcsinA，代入数据得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，故a＝2，由正弦定理，得2R＝＝，解得R＝2.9．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.【答案】110．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.【答案】【解析】如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠ADB＝.1由题意知0°<∠ADB<60°，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.∴∠BAC＝30°，C＝30°，∴BC＝AB＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝.二、解答题11．(2017·河北三市联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB＝－bsin.(1)求A；(2)若△ABC的面积S＝c2，求sinC的值．12．(2017·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2C－cos2A＝2sin·sin.(1)求角A的值；(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．解：(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2cos2C－sin2C，化简得sinA＝，故A＝或.(2)由题知，若b≥a，则A＝，又a＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，得b＝2sinB，c＝2sinC，故2b－c＝4sinB－2sinC＝4sinB－2sin＝3sinB－cosB＝2sin.因为b≥a，所以≤B＜，≤B－＜，所以2sin∈[，2)．即2b－c的取值范围为[，2).2
