题组层级快练(二十四)1．设sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)的值为()A．0B．1C．±1D．－1答案A解析∵sinα·cosβ＝1，∴∴∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝0.2．4cos50°－tan40°＝()A.B.C.D．2－1答案C解析4cos50°－tan40°＝＝＝＝＝＝.故选C.3．计算的值为()A．－2B．2C．－1D．1答案D解析＝＝＝＝＝＝1，选D.4．若θ∈[，]，sin2θ＝，则sinθ等于()A.B.C.D.答案D解析因为θ∈[，]，所以2θ∈[，π]，cos2θ≤0，所以cos2θ＝－＝－.又因为cos2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，sinθ＝.故选D.5．若＝，则sin2α的值为()A．－B.C．－D.答案B解析＝＝(cosα－sinα)＝，即cosα－sinα＝，等式两边分别平方得cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－sin2α＝，解得sin2α＝.6．(2019·湖北省冲刺卷)已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则sin(3α－β)＝()A．－B.C．－D.答案B解析方法一：因为α为锐角，β为第二象限角，cos(α－β)>0，sin(α＋β)>0，所以α－β为第四象限角，α＋β为第二象限角，所以sin(α－β)＝－，cos(α＋β)＝－，所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝－×(－)＋×＝1.因为α为锐角，所以2α＝，所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝，故选B.方法二：同方法一可得，sin(α－β)＝－，cos(α＋β)＝－.所以cos2(α－β)＝2cos2(α－β)－1＝2×()2－1＝－，sin2(α－β)＝2sin(α－β)cos(α－β)＝2×(－)×＝－.所以sin(3α－β)＝sin[2(α－β)＋(α＋β)]＝sin2(α－β)cos(α＋β)＋cos2(α－β)sin(α＋β)＝(－)×(－)＋(－)×＝.故选B.7．(2019·福建省百校临考冲刺)若α∈(0，π)，且sinα＋2cosα＝2，则tan＝()A.B.C.D.答案A解析方法一：由已知得cosα＝1－sinα.代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋(1－sinα)2＝1，整理得sin2α－sinα＝0，解得sinα＝0或sinα＝.因为α∈(0，π)，所以sinα＝，故cosα＝1－×＝.所以tan＝＝＝.故选A.方法二：因为sinα＝2sin·cos，cosα＝1－2sin2，所以sinα＋2cosα＝2可以化为2sin·cos＋2(1－2sin2)＝2，化简可得2sin·cos＝4sin2.①因为α∈(0，π)，所以∈(0，)，所以sin≠0.所以①式可化为2cos＝4sin，即tan＝.故选A.8．已知tan(α＋)＝－，且<α<π，则的值等于()A.B．－C．－D．－答案C解析＝＝2cosα，由tan(α＋)＝－，得＝－，解得tanα＝－3.因为<α<π，所以cosα＝－＝－.所以原式＝2cosα＝2×(－)＝－.故选C.9．计算：(1)＝________．(2)＝________．(3)＝________．答案(1)－4(2)2(3)－4解析(1)原式＝＝＝＝＝－4.(2)＝＝＝2.(3)原式＝＝＝＝＝＝－4.10．化简：＝________．答案sin2α11．设α为第四象限的角，若＝，则tan2α＝________．答案－解析＝＝＝.∴2cos2α＋cos2α＝，2cos2α－1＋cos2α＝.∴cos2α＝.∵2kπ－<α<2kπ，∴4kπ－π<2α<4kπ(k∈Z)．又∵cos2α＝>0，∴2α为第四象限的角．sin2α＝－＝－，∴tan2α＝－.12．已知sinα＝cos2α，α∈(，π)，则tanα＝________．答案－解析sinα＝1－2sin2α，∴2sin2α＋sinα－1＝0.∴(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈(，π)，∴2sinα－1＝0.∴sinα＝，cosα＝－.∴tanα＝－.13．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，且sinA·cosA＝，则此三角形为________．答案等边三角形解析∵tanA＋tanB＋＝tanAtanB，∴tan(A＋B)＝－，得A＋B＝120°.又由sinAcosA＝，得sin2A＝.∴A＝60°(A＝30°舍去)，∴△ABC为等边三角形．14．若θ∈[0，π)且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则θ＝________．答案0或15．化简：＋＝________.答案－4cos2α解析原式＝＋＝－＝－＝－＝－4cos2α.16．(2019·山东淄博一模)已知tan(＋θ)＝3，则sin2θ－2cos2θ＝__________．答案－解析方法一：sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1，sin2θ＝－cos2(θ＋)＝－＝，cos2θ＝sin2(θ＋)＝＝，∴原式＝－－1＝－.方法二：tan(＋θ)＝3，＝3，解得tanθ＝，sin2θ－2cos2θ＝＝＝－.17．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝________．答案解析∵(cosαcosβ－sinαsinβ)(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝，∴cos2αcos2β－sin2αsin2β＝.∴cos2α(1－sin2β)－(1－cos2α)sin2β＝.∴cos2α－sin2β＝.18．(2019·江苏泰州中学摸底)已知0<α<<β<π，且sin(α＋β)＝，tan＝.(1)求cosα的值；(2)证明：sinβ>.答案(1)(2)略解析(1)∵tan＝，∴tanα＝＝＝.∴又α∈(0，)，解得cosα＝.(2)证明：由已知得<α＋β<.∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.由(1)可得sinα＝，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝×－(－)×＝>.
