专题限时集训(十九)复数、数学归纳法(对应学生用书第155页)[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考题、模拟题重组练]一、复数1．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝()A．1B.C.D．2B[ (1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又 x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.]2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)A[由题意知即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．]3．若z＝4＋3i，则＝()A．1B．－1C.＋iD.－iD[ z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，∴＝＝－i.]4．设复数z满足＝i，则|z|＝()A．1B.C.D．2A[由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.]5．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1B．0C．1D．2B[ (2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.∴解得a＝0.故选B.]6．若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2iB[法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.法二：由已知条件2z＋＝3－2i①，得2＋z＝3＋2i②，解①②组成的关于z，的方程组，得z＝1－2i.故选B.]7．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.【导学号：68334158】52[(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.所以a2＋b2＝5，ab＝2.]8．若复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数，其中m是实数，则＝________.1i[由题意，得m(m－1)＝0且(m－1)≠0，得m＝0，所以z＝－i，＝＝i.二、数学归纳法9．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应增添的代数式为________．2(2k＋1)[假设n＝k时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3…×(2k－1)成立；那么n＝k＋1时左边应为[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k－1][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，即从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应添乘的式子是＝＝2(2k＋1)．]10．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是________．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，由上述式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n－1项，且第一项为n，则最后一项为3n－2，等式右边均为2n－1的平方．]11．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．＋＋…＋＋＋>－[观察不等式中各项的分母变化知，n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋>－.][B组“8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．已知复数z＝，则z－|z|对应的点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[ 复数z＝＝＝＋i，∴z－|z|＝＋i－＝＋i，其对应的点所在的象限为第二象限．故选B.]2．已知i为虚数单位，若＝，则a的值为()A．iB．－iC．－2iD．2iC[ ＝，∴a＝＝＝－2i，故选C.]3．(2016·浙江镇海中学模拟)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z＝zD[对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以z1＝z2，命题为真；对于选项B，若z1＝z2，则z1和z2互为共轭复数，所以z1＝z2，命题为真；对于选项C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，则＝，z1·z1＝a＋b，z2·z2＝a＋b，所以z1·z1＝z2·z2，命题为真；对于选项D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，而z＝1，z＝－1，所以z≠z，命题为假．]4．复数z＝(其中i是虚数单位)，则复数z的共轭复数z＝()A．－1－2iB．－1＋2iC．1＋2iD．1－2iA[依题意得z＝＝＝－1＋2i，因此z＝－1－2i，故选A.]5．设复数z1和z2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z1＝3－2i，则z1·z2＝()A．－5－12iB．－5...
